(1) 円周上に異なる7個の点A, B, C, ..., Gがある。 (ア) これらの点から2点を選んで線分を作るとき、線分は全部で何本できるか。 (イ) 他の線分と端点以外の交点をもつ線分は、全部で何本できるか。 (2) 三角形ABCの各辺を3分割したときの6点と3頂点のうちから3点を結んでできる三角形は全部で何個あるか。

1. 問題の内容

(1) 円周上に異なる7個の点A, B, C, ..., Gがある。

(ア) これらの点から2点を選んで線分を作るとき、線分は全部で何本できるか。

(イ) 他の線分と端点以外の交点をもつ線分は、全部で何本できるか。

(2) 三角形ABCの各辺を3分割したときの6点と3頂点のうちから3点を結んでできる三角形は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

(1)(ア) 7個の点から2点を選ぶ組み合わせを求める。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いる。

この場合、$n=7$, $r=2$ なので、$_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(1)(イ) 他の線分と端点以外の交点をもつ線分は、七角形の対角線のことである。

七角形の辺の数は7本であり、線分の総数は21本である。(1)(ア)より

したがって対角線の数は、 $21 - 7 = 14$ 本となる。

(2) 三角形ABCの頂点3個と、各辺を3分割した点6個、合計9個の点から3点を選んで三角形を作る。

まず、9個の点から3個を選ぶ組み合わせは $_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。

ただし、一直線上に並んだ3点を選んでしまうと三角形ができない。そのような選び方を除く必要がある。

三角形ABCの各辺にはそれぞれ3分割点があるため、3点とも同じ辺上にある場合は三角形にならない。各辺で3点を選ぶ組み合わせは1通りずつなので、3辺で3通り。

したがって、三角形の数は $84 - 3 = 81$ 個。

3. 最終的な答え

(1)(ア) 21本

(1)(イ) 14本

(2) 81個