(1) 半径12cmの円の周の長さを求める。 (2) 半径7cm、中心角40°のおうぎ形の弧の長さを求める。 (3) 半径5cm、中心角72°のおうぎ形の面積を求める。 (4) 半径8cm、弧の長さが$6\pi$ cmのおうぎ形の中心角の大きさを求める。 (5) 1辺の長さが4cmの正三角形2つと、半径が正三角形の辺と重なるおうぎ形2つを組み合わせた図形で、色のついた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 半径12cmの円の周の長さを求める。

(2) 半径7cm、中心角40°のおうぎ形の弧の長さを求める。

(3) 半径5cm、中心角72°のおうぎ形の面積を求める。

(4) 半径8cm、弧の長さが$6\pi$ cmのおうぎ形の中心角の大きさを求める。

(5) 1辺の長さが4cmの正三角形2つと、半径が正三角形の辺と重なるおうぎ形2つを組み合わせた図形で、色のついた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円周の長さ = $2 \pi r$ であり、$r = 12$ cmなので、

$2 \pi (12) = 24\pi$ cm

(2) 弧の長さ = $2 \pi r \times \frac{\theta}{360}$ であり、$r = 7$ cm、$\theta = 40^\circ$なので、

$2 \pi (7) \times \frac{40}{360} = 14 \pi \times \frac{1}{9} = \frac{14}{9} \pi$ cm

(3) 扇形の面積 = $\pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$ であり、$r = 5$ cm、$\theta = 72^\circ$なので、

$\pi (5^2) \times \frac{72}{360} = 25 \pi \times \frac{1}{5} = 5\pi$ cm$^2$

(4) 弧の長さ = $2 \pi r \times \frac{\theta}{360}$ であり、$r = 8$ cm、弧の長さ = $6\pi$ cmなので、

$6\pi = 2 \pi (8) \times \frac{\theta}{360}$

$6\pi = 16 \pi \times \frac{\theta}{360}$

$\frac{6}{16} = \frac{\theta}{360}$

$\theta = \frac{6}{16} \times 360 = \frac{3}{8} \times 360 = 3 \times 45 = 135^\circ$

(5) 半径4cmの半円から、一辺が4cmの正三角形2つ分の面積を引く。

半円の面積 = $\pi r^2 / 2 = \pi (4^2) / 2 = 16\pi / 2 = 8\pi$

正三角形の面積 = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4^2) = \frac{\sqrt{3}}{4} (16) = 4\sqrt{3}$

正三角形2つ分の面積 = $2 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

色のついた部分の面積 = $8\pi - 8\sqrt{3} = 8(\pi - \sqrt{3})$ cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) $24\pi$ cm

(2) $\frac{14}{9}\pi$ cm

(3) $5\pi$ cm$^2$

(4) $135^\circ$

(5) $8(\pi - \sqrt{3})$ cm$^2$