三角形ABCにおいて、以下の2つの問題に答えます。 (1) 辺の比 $a:b:c = (1+\sqrt{3}) : 2 : \sqrt{2}$ のとき、$\sin A : \sin B : \sin C$ と角Cを求めます。ただし、$ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $とします。 (2) 角の比 $A:B:C = 5:4:3$ のとき、角A, B, Cと辺の比 $a:b:c$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の2つの問題に答えます。

(1) 辺の比 $a:b:c = (1+\sqrt{3}) : 2 : \sqrt{2}$ のとき、$\sin A : \sin B : \sin C$ と角Cを求めます。ただし、$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$とします。

(2) 角の比 $A:B:C = 5:4:3$ のとき、角A, B, Cと辺の比 $a:b:c$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c$ なので、$\sin A : \sin B : \sin C = (1+\sqrt{3}) : 2 : \sqrt{2}$です。

次に、角Cを求めます。余弦定理より、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$a = 1+\sqrt{3}, b = 2, c = \sqrt{2}$ を代入します。

$\cos C = \frac{(1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - (\sqrt{2})^2}{2(1+\sqrt{3})(2)}$

$\cos C = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3 + 4 - 2}{4(1+\sqrt{3})}$

$\cos C = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{4(1+\sqrt{3})}$

$\cos C = \frac{3 + \sqrt{3}}{2(1+\sqrt{3})}$

$\cos C = \frac{(3+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{2(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}$

$\cos C = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{2(1-3)}$

$\cos C = \frac{-2\sqrt{3}}{2(-2)}$

$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$C = 30^\circ$

(2)

$A:B:C = 5:4:3$なので、$A = 5x, B = 4x, C = 3x$ と表せます。

三角形の内角の和は180度なので、$5x + 4x + 3x = 180^\circ$

$12x = 180^\circ$

$x = 15^\circ$

したがって、$A = 5(15^\circ) = 75^\circ, B = 4(15^\circ) = 60^\circ, C = 3(15^\circ) = 45^\circ$

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$です。

$a:b:c = \sin 75^\circ : \sin 60^\circ : \sin 45^\circ$

$a:b:c = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} : \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a:b:c = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} : \frac{2\sqrt{3}}{4} : \frac{2\sqrt{2}}{4}$

$a:b:c = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) : 2\sqrt{3} : 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A : \sin B : \sin C = (1+\sqrt{3}) : 2 : \sqrt{2}$

$C = 30^\circ$

(2) $A = 75^\circ, B = 60^\circ, C = 45^\circ$

$a:b:c = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) : 2\sqrt{3} : 2\sqrt{2}$