三角形ABCの各辺を3等分したときの6個の点と、三角形の3つの頂点の計9個の点から3点を選んで三角形を作る時、作れる三角形の総数を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCの各辺を3等分したときの6個の点と、三角形の3つの頂点の計9個の点から3点を選んで三角形を作る時、作れる三角形の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、9個の点から3個の点を選ぶ組み合わせの総数を計算します。これは、組み合わせの公式を用いて $_9C_3$ で求められます。

次に、選んだ3点が一直線上にある場合、三角形を作ることができません。一直線上に並ぶ3点の組み合わせをすべて求め、上記の組み合わせの総数から引くことで、三角形の総数を求めます。

$_9C_3$の計算:

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

一直線上に並ぶ3点の組み合わせは、各辺上に1組ずつあります。三角形の各辺は3等分されているので、各辺には3個の分割点があります。各辺について、両端の頂点と分割点を合わせて5個の点が並んでおり、このうち隣り合った3点を選ぶ組み合わせは3通りあります。三角形の辺は3つあるので、一直線上に並ぶ3点の組み合わせは $3 \times 3 = 9$通りです。

また、各頂点とそれぞれの辺にある分割点を1つずつ選ぶと3つの点が一直線上に並ぶということはありません。

したがって、三角形の総数は $84 - 3 \times 3 = 84 - 9 = 75$個です。

3. 最終的な答え

75個