(1) 正八角形の頂点を結んでできる三角形の個数を求める。 (2) (1)で求めた三角形のうち、正八角形と1辺または2辺を共有する三角形の個数を求める。 (3) 正 $n$ 角形の頂点を結んでできる三角形のうち、正 $n$ 角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。ただし、$n \geq 5$ とする。

1. 問題の内容

(1) 正八角形の頂点を結んでできる三角形の個数を求める。

(2) (1)で求めた三角形のうち、正八角形と1辺または2辺を共有する三角形の個数を求める。

(3) 正 $n$ 角形の頂点を結んでできる三角形のうち、正 $n$ 角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。ただし、$n \geq 5$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 正八角形の8個の頂点から3個選んで三角形を作る組み合わせを求める。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できる。

(2) 正八角形と1辺を共有する三角形の個数と、2辺を共有する三角形の個数をそれぞれ求める。

* 1辺を共有する場合：共有する辺の選び方は8通り。残りの1頂点は、共有する辺の両隣以外の5つの頂点から選ぶことができる。したがって、8 * 5 = 40個。

* 2辺を共有する場合：これは正八角形の隣り合う2辺を共有することになる。このような三角形は、正八角形の頂点の数だけ存在するので、8個。

したがって、正八角形と1辺または2辺を共有する三角形の個数は 40 + 8 = 48個。

(3) 正 $n$ 角形の頂点から3個を選んでできる三角形の総数は $_nC_3$ で表される。正 $n$ 角形と辺を共有する三角形の個数を計算し、三角形の総数から引くことで、正 $n$ 角形と辺を共有しない三角形の個数を求める。

* 1辺を共有する場合：共有する辺の選び方は $n$ 通り。残りの1頂点は、共有する辺の両隣以外の $n-4$ 個の頂点から選ぶことができる。したがって、$n(n-4)$個。

* 2辺を共有する場合：正 $n$ 角形の隣り合う2辺を共有する三角形は $n$ 個。

したがって、正 $n$ 角形と少なくとも1辺を共有する三角形の個数は $n(n-4) + n = n(n-3)$ 個。

正 $n$ 角形と辺を共有しない三角形の個数は、

$_{n}C_3 - n(n-3) = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} - n(n-3)$

$= \frac{n(n-1)(n-2) - 6n(n-3)}{6}$

$= \frac{n(n^2 - 3n + 2 - 6n + 18)}{6}$

$= \frac{n(n^2 - 9n + 20)}{6}$

$= \frac{n(n-4)(n-5)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 56個

(2) 48個

(3) $\frac{n(n-4)(n-5)}{6}$個