三角形ABCの各辺を3等分したときに出てくる6つの点と、元の三角形の3つの頂点、計9つの点の中から3つの点を選んで三角形を作るとき、全部でいくつの三角形が作れるか。

1. 問題の内容

三角形ABCの各辺を3等分したときに出てくる6つの点と、元の三角形の3つの頂点、計9つの点の中から3つの点を選んで三角形を作るとき、全部でいくつの三角形が作れるか。

2. 解き方の手順

まず、9個の点から3個を選ぶ組み合わせの総数を計算します。

これは ${}_9 C_3$ で計算できます。

${}_9 C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

次に、3つの点を選んだ時に三角形にならない場合を考えます。

これは、3つの点が一直線上にある場合です。

直線上に並ぶ点の組は以下の通りです。

* AB上の3点

* BC上の3点

* CA上の3点

これらの場合がそれぞれ1つずつあります。

また、各辺上の分割点を2つと、その辺の端点を選ぶと直線になってしまいます。

AB上の場合、A,B,分割点1, 分割点2の4点から3点を選びます。

これは${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りですが、A,B,分割点1とA,B,分割点2は元の三角形を構成するので、直線になるのは分割点1, 分割点2とその間にある頂点からなる組のみです。分割点1, 分割点2, A も分割点1, 分割点2, B も一直線上に並ぶので除外する必要があります。

各辺に分割点が2つずつあるので、

各辺において一直線になる組み合わせはそれぞれ1つあります。

AB, BC, CAに対してそれぞれ1つの組み合わせがあるので、合計3つの組み合わせが一直線上に並びます。

したがって、三角形にならない組み合わせの数は3です。

三角形の総数から、三角形にならない組み合わせの数を引けば、求める三角形の個数が得られます。

$84 - 3 = 81$

3. 最終的な答え

81個