立方体の各面を隣り合った面の色が異なるように塗りたい。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。 (1) 異なる6色すべてを使って塗る方法は何通りあるか。 (2) 異なる5色すべてを使って塗る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

立方体の各面を隣り合った面の色が異なるように塗りたい。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。

(1) 異なる6色すべてを使って塗る方法は何通りあるか。

(2) 異なる5色すべてを使って塗る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 異なる6色すべてを使って塗る場合

まず、1つの面の色を固定します。立方体を回転させることができるので、どの色を固定しても同じです。残りの5つの面を塗ることを考えます。

向かい合う面のペアは3組あります。固定した面の向かい側の面の色を決めると、残りの4面は円順列になります。

固定した面の向かい側の面の色は、5通りの選び方があります。

残りの4面は円順列なので、$(4-1)! = 3! = 6$ 通りの塗り方があります。

したがって、異なる6色すべてを使って塗る方法は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

(2) 異なる5色すべてを使って塗る場合

5色のうち、1色だけ2回使うことになります。その2回使う色を選びます。選び方は5通りあります。

その2回使う色を向かい合う面に塗る場合と、隣り合う面に塗る場合で場合分けをします。

(i) 2回使う色を向かい合う面に塗る場合

向かい合う面を塗る色の選び方は5通りあります。

残りの4つの面は4色で塗ることになります。

4つの面は円順列になるので $(4-1)! = 3! = 6$ 通りの塗り方があります。

したがって、この場合は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

(ii) 2回使う色を隣り合う面に塗る場合

2回使う色を塗る隣り合う2面を固定します。

残りの4面は4色で塗ることになります。

向かい合う面の色の組み合わせを考えます。

まず、2回使う色を塗った面の、残りの隣り合う面に色を塗ります。塗る色の選び方は4通りあります。

次に、残りの向かい合う2面を塗ります。塗る色の選び方は$3! = 6$通りあります。

したがって、この場合は $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 / 2= 30 \times (4 \times 6)/24 = 5 \times 4 \times 6 =120$通りです。

しかし、これは立方体の回転を考慮していないので、もっと複雑になります。

別の解き方として、2回使う色を選んだ後、その2色の位置関係を考えます。立方体を回転させて同じになるものを除きます。

まず、2回使う色を選びます。これは5通りです。

次に、2回使う色の配置を決めます。

2回使う色が隣り合う面に配置される場合を考えます。立方体を回転させると、2回使う色がどの隣り合う面に来ても同じ配置になるので、これは1通りです。

次に、2回使う色が向かい合う面に配置される場合を考えます。これも立方体を回転させると、2回使う色がどの向かい合う面に来ても同じ配置になるので、これも1通りです。

したがって、2回使う色の配置は2通りです。

(i) 2回使う色が向かい合う面にある場合

残りの4面は4色で塗る必要があります。4色の円順列は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

したがって、この場合の数は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

(ii) 2回使う色が隣り合う面にある場合

2回使う色を固定し、残りの4面を塗る必要があります。

残りの4色のうち、向かい合う2面を1つのペア、もう1つの向かい合う2面をもう1つのペアとします。

2ペアの色は区別されるので、残りの4面の塗り方は6通りです。

したがって、この場合の数は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

合計で30 + 30 = 60通りです。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 30通り