直線 $y = 2x - 6$ と $y = -\frac{1}{2}x + 4$ が与えられています。これらの直線と $y$軸との交点をそれぞれA, Bとします。また、直線 $y = 2x - 6$ と $y = -\frac{1}{2}x + 4$ の交点をCとします。このとき、原点Oを通り、三角形ACBの面積を2等分する直線$l$の式を求めます。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x - 6$ と $y = -\frac{1}{2}x + 4$ が与えられています。これらの直線と $y$軸との交点をそれぞれA, Bとします。また、直線 $y = 2x - 6$ と $y = -\frac{1}{2}x + 4$ の交点をCとします。このとき、原点Oを通り、三角形ACBの面積を2等分する直線$l$の式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、点A, B, Cの座標を求めます。

点Aは直線 $y = 2x - 6$ と $y$軸の交点なので、$x = 0$ を代入して、$y = 2(0) - 6 = -6$。よって、A(0, -6)です。

点Bは直線 $y = -\frac{1}{2}x + 4$ と $y$軸の交点なので、$x = 0$ を代入して、$y = -\frac{1}{2}(0) + 4 = 4$。よって、B(0, 4)です。

点Cは直線 $y = 2x - 6$ と $y = -\frac{1}{2}x + 4$ の交点なので、

$2x - 6 = -\frac{1}{2}x + 4$

$\frac{5}{2}x = 10$

$x = 4$

$y = 2(4) - 6 = 2$

よって、C(4, 2)です。

次に、三角形ACBの面積を求めます。底辺ABの長さは $4 - (-6) = 10$、高さは点Cの$x$座標なので4です。したがって、三角形ACBの面積は $\frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$ です。

直線$l$は三角形ACBの面積を2等分するので、三角形ACBの面積の半分、つまり10となります。直線$l$は原点Oを通るので、$y = kx$ と表せます。直線$l$と線分BCの交点をDとすると、三角形AOBの面積は $\frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 10 \times h = 5h$ であり、三角形AOBの面積は線分OBと線分OAに区切られていて、三角形AOBの面積は、$\frac{1}{2} \times 6 \times x_D + \frac{1}{2} \times 4 \times x_D = 5x_D$です。三角形OCB = 10となるような直線$l$を求めるには、線分BC上の点D(xd, yd)を求める必要があります。直線$l$は原点を通るので、$y=mx$とおける。また、線分BCは$y=-\frac{1}{2}x+4$上にあるので、$yd=-\frac{1}{2}xd+4$。三角形OBC = 10となるためには、$\frac{1}{2} \times OB \times x_C = 10$。OB = 4 なので、$2x_C = 10$となり、$x_C = 5$。点Cはy = mx上にあるので、yd = mxd。

$-\frac{1}{2}x_d + 4 = m x_d$

三角形OBC = 10。 よって　 $\frac{1}{2} \times 4 \times x = 10$。$x = 5$。 よって直線lとBCの交点の$x$座標は5。y = -1/2(5)+4 = 3/

2. よって交点の座標は(5, 3/2). 原点を通るので傾きは (3/2)/5 = 3/10。

よって $y = \frac{3}{10} x$。

3. 最終的な答え

$y = \frac{3}{10}x$