(1) 図において、$\triangle OAB$ と $\triangle OPQ$ があり、$AB$ と $PQ$ の交点を $R$ とする。点 $P$ が線分 $OA$ を $4:1$ に内分し、点 $R$ が線分 $AB$ を $1:1$ に内分するとき、点 $B$ は線分 $OQ$ を何対何に内分するか。 (2) 四角形 $ABCD$ が円に内接しており、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAD = 105^\circ$, $\angle DCT' = 50^\circ$ であるとき、$\angle BDC$ は何度か。 (3) 四角形 $ABCD$ が円に内接しており、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BDC = 75^\circ$, $\angle DCT' = 30^\circ$ であるとき、$\angle BAD$ は何度か。 (4) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、直線 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = 10$, $PB = 4$, $CD = 3$ であるとき、$PC$ の長さを求めよ。 (5) 半径が1の円に点 $P$ から接線を引き、接点を $A$ とする。また、円の中心を $O$ とするとき、線分 $PO$ と円との交点を $B$ とする。$PA = \sqrt{3}$ のとき、$PB$ の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 図において、$\triangle OAB$ と $\triangle OPQ$ があり、$AB$ と $PQ$ の交点を $R$ とする。点 $P$ が線分 $OA$ を $4:1$ に内分し、点 $R$ が線分 $AB$ を $1:1$ に内分するとき、点 $B$ は線分 $OQ$ を何対何に内分するか。

(2) 四角形 $ABCD$ が円に内接しており、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAD = 105^\circ$, $\angle DCT' = 50^\circ$ であるとき、$\angle BDC$ は何度か。

(3) 四角形 $ABCD$ が円に内接しており、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BDC = 75^\circ$, $\angle DCT' = 30^\circ$ であるとき、$\angle BAD$ は何度か。

(4) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、直線 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = 10$, $PB = 4$, $CD = 3$ であるとき、$PC$ の長さを求めよ。

(5) 半径が1の円に点 $P$ から接線を引き、接点を $A$ とする。また、円の中心を $O$ とするとき、線分 $PO$ と円との交点を $B$ とする。$PA = \sqrt{3}$ のとき、$PB$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) メネラウスの定理を使う。$\triangle OAB$ において直線 $PQR$ に対してメネラウスの定理を適用すると、

$$\frac{OP}{PA} \cdot \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BQ}{QO} = 1$$

$OP/PA = 4$, $AR/RB = 1$ より、

$$4 \cdot 1 \cdot \frac{BQ}{QO} = 1$$

$$\frac{BQ}{QO} = \frac{1}{4}$$

よって、$\frac{OQ}{BQ} = 4$, $\frac{OQ - BQ}{BQ} = 3$, $\frac{OB}{BQ} = 3$, $\frac{BQ}{OB} = \frac{1}{3}$, $\frac{OQ}{OB} = 4$.

したがって、$OB:BQ = 3:1$. よって、$OQ = OB + BQ = OB + OB/3 = 4OB/3$.

$\frac{OB}{OQ} = \frac{3}{4}$. よって、$BQ = OQ - OB = OQ - \frac{3}{4}OQ = \frac{1}{4}OQ$.

したがって、$OB: BQ = \frac{3}{4}OQ: \frac{1}{4}OQ = 3:1$となる。点 $B$ は線分 $OQ$ を $3:1$ に内分する。

(2) 円周角の定理より、$\angle CAD = \angle DCT' = 50^\circ$

また、四角形 $ABCD$ は円に内接するので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

$\angle BCA = \angle BCD - \angle ACD = 75^\circ - \angle CAD = 75^\circ - 50^\circ = 25^\circ$

$\angle BDC = \angle BCA = 25^\circ$

(3) $\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD$

$\angle DBC = \angle DCT' = 30^\circ$

$\angle BDC = 75^\circ$ より、$\angle BCD = 180^\circ - (30^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

(4) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

$PA = 10$, $PB = 4$ より、$PA \cdot PB = 10 \cdot 4 = 40$

$CD = 3$ より、$PD = PC + CD = PC + 3$

したがって、$PC \cdot (PC + 3) = 40$

$PC^2 + 3PC - 40 = 0$

$(PC + 8)(PC - 5) = 0$

$PC = -8$ または $PC = 5$

$PC > 0$ より、$PC = 5$

(5) $PA = \sqrt{3}$, $OA = 1$

$\triangle OAP$ は直角三角形なので、$OP^2 = OA^2 + PA^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$OP = 2$

$OB = 1$ (円の半径)

$PB = OP - OB = 2 - 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 3:1

(2) 25

(3) 105

(4) 5

(5) 1