原点Oと3点A(2,5), B(6,5), C(8,0)を頂点とする台形OABCがある。点Aを通り、台形OABCの面積を2等分する直線lの式を求める。

1. 問題の内容

原点Oと3点A(2,5), B(6,5), C(8,0)を頂点とする台形OABCがある。点Aを通り、台形OABCの面積を2等分する直線lの式を求める。

2. 解き方の手順

まず、台形OABCの面積を求める。台形OABCは上底AB、下底OC、高さが5の台形である。

ABの長さは $6-2=4$

OCの長さは $8-0=8$

台形の面積は、(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2 で計算できるので、

台形OABCの面積は、

$(4+8) \times 5 \div 2 = 12 \times 5 \div 2 = 30$

直線lは台形OABCの面積を2等分するので、直線lによって分割される図形の面積は $30 \div 2 = 15$ となる。

直線lは点A(2,5)を通るので、直線lと辺OCとの交点をD(d,0)とする。

直線lは三角形AODの面積を15とする。

三角形AODの面積は、$OD \times Aのy座標 \div 2 = d \times 5 \div 2$

したがって、$5d \div 2 = 15$

$5d = 30$

$d = 6$

したがって、D(6,0)である。

直線lは点A(2,5)と点D(6,0)を通る直線である。

傾きをmとすると、

$m = \frac{0-5}{6-2} = \frac{-5}{4}$

したがって、直線lの式は、$y = -\frac{5}{4}x + b$とおける。

点A(2,5)を通るので、$5 = -\frac{5}{4} \times 2 + b$

$5 = -\frac{5}{2} + b$

$b = 5 + \frac{5}{2} = \frac{10}{2} + \frac{5}{2} = \frac{15}{2}$

したがって、直線lの式は、$y = -\frac{5}{4}x + \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{5}{4}x + \frac{15}{2}$