問題は2つあります。 最初の問題は、円に内接する四角形$ABCD$について、$AB=1, BC=\sqrt{3}, CD=\sqrt{2}, DA=\sqrt{2}$のとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $AC$の長さを求める。 (2) 円の半径$R$を求める。 (3) 四角形$ABCD$の面積$S$を求める。 (4) 対角線$AC, BD$の交点を$E$とするとき、$AE:EC$を求め、三角形$ABE$の面積を求める。 次の問題は、袋の中に赤球4個、白球2個が入っているとき、袋から2球を同時に取り出し、色を調べてから元に戻すという操作$T$について、以下の問いに答えるものです。 (1) 操作$T$を1回行ったとき、赤球1個、白球1個である確率を求める。 (2) 操作$T$を1回行ったとき、少なくとも1個が白球である確率を求める。 (3) 操作$T$を2回行ったとき、出た球の合計4個のうち、赤球の個数を$X$とするとき、$X=1$となる確率を求める。 (4) 操作$T$を2回行ったとき、出た球の合計4個のうち、赤球の個数を$X$とするとき、$X=2$となる確率を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

最初の問題は、円に内接する四角形$ABCD$について、$AB=1, BC=\sqrt{3}, CD=\sqrt{2}, DA=\sqrt{2}$のとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $AC$の長さを求める。

(2) 円の半径$R$を求める。

(3) 四角形$ABCD$の面積$S$を求める。

(4) 対角線$AC, BD$の交点を$E$とするとき、$AE:EC$を求め、三角形$ABE$の面積を求める。

次の問題は、袋の中に赤球4個、白球2個が入っているとき、袋から2球を同時に取り出し、色を調べてから元に戻すという操作$T$について、以下の問いに答えるものです。

(1) 操作$T$を1回行ったとき、赤球1個、白球1個である確率を求める。

(2) 操作$T$を1回行ったとき、少なくとも1個が白球である確率を求める。

(3) 操作$T$を2回行ったとき、出た球の合計4個のうち、赤球の個数を$X$とするとき、$X=1$となる確率を求める。

(4) 操作$T$を2回行ったとき、出た球の合計4個のうち、赤球の個数を$X$とするとき、$X=2$となる確率を求める。

2. 解き方の手順

【4】

(1) $AC$の長さを求める。

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos{B} = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cos{B} = 4 - 2\sqrt{3} \cos{B}$

また、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos{D} = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cos{D} = 4 - 4 \cos{D}$

円に内接する四角形の対角の和は180度なので、$D = 180^{\circ} - B$より$\cos{D} = -\cos{B}$

$4 - 2\sqrt{3} \cos{B} = 4 + 4 \cos{B}$

$-2\sqrt{3} \cos{B} = 4 \cos{B}$

$\cos{B}(4 + 2\sqrt{3}) = 0$

$\cos{B} = 0$

$AC^2 = 4 - 2\sqrt{3} \cdot 0 = 4$

$AC = 2$

28 = 2

(2) 円の半径$R$を求める。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin{B}} = 2R$

$\sin{B} = \sqrt{1-\cos^2{B}} = \sqrt{1-0} = 1$

$\frac{2}{1} = 2R$

$R = 1$

29 = 1

(3) 四角形$ABCD$の面積$S$を求める。

$S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \sin{B} + \frac{1}{2}AD \cdot CD \sin{D} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$

30 = 2

31 = 3

32 = 2

(4) 対角線$AC, BD$の交点を$E$とするとき、$AE:EC$を求め、三角形$ABE$の面積を求める。

トレミーの定理より、$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD = 1 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

$2BD = \sqrt{2}+\sqrt{6}$

$BD = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

三角形$ABE$と三角形$CDE$は相似である。

$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

33 = 1

34 = 2

$AE = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \cdot 2 = \frac{2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{4\sqrt{2}-4}{4-2} = \frac{4\sqrt{2}-4}{2} = 2\sqrt{2}-2$

三角形$ABE$の面積は、$\frac{1}{2} AB \cdot AE \cdot \sin{\angle BAE}$

$\sin{\angle BAE} = \sin{\angle BAC}$

$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{1+4-3}{2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\angle BAC = 60^{\circ}$

$\sin{\angle BAC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

面積 = $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (2\sqrt{2}-2) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(2\sqrt{2}-2)\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$

35 = 6

36 = 3

37 = 2

【5】

(1) 赤球1個、白球1個である確率

$\frac{{}_4C_1 \cdot {}_2C_1}{{}_6C_2} = \frac{4 \cdot 2}{15} = \frac{8}{15}$

38 = 8

39 = 1

40 = 5

(2) 少なくとも1個が白球である確率

$1 - \frac{{}_4C_2}{{}_6C_2} = 1 - \frac{6}{15} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

41 = 3

42 = 5

(3) $X=1$となる確率

赤1個、白1個の確率 $\frac{8}{15}$

赤0個、白2個の確率 $\frac{{}_2C_2}{{}_6C_2} = \frac{1}{15}$

赤2個、白0個の確率 $\frac{{}_4C_2}{{}_6C_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

$X=1$となるのは、

(i) (赤1, 白1)(赤0, 白2)の順で出る場合 $\frac{8}{15} \cdot \frac{1}{15} = \frac{8}{225}$

(ii) (赤0, 白2)(赤1, 白1)の順で出る場合 $\frac{1}{15} \cdot \frac{8}{15} = \frac{8}{225}$

$X=1$となる確率は$\frac{8}{225}+\frac{8}{225} = \frac{16}{225}$

または

$X=1$になるのは(赤1,白1)と(赤0,白2)が1回ずつ出る場合

確率は

${}_2C_1 \cdot \frac{{}_4C_1 \cdot {}_2C_1}{{}_6C_2} \cdot \frac{{}_2C_2}{{}_6C_2} = 2 \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{15} = \frac{16}{225}$

43 = 1

44 = 6

45 = 2

46 = 2

47 = 5

(4) $X=2$となる確率

赤2個、白0個の確率 $\frac{{}_4C_2}{{}_6C_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

(i) (赤1, 白1)(赤1, 白1) $\frac{8}{15} \cdot \frac{8}{15} = \frac{64}{225}$

(ii) (赤2, 白0)(赤0, 白2) $\frac{6}{15} \cdot \frac{1}{15} = \frac{6}{225}$

(iii) (赤0, 白2)(赤2, 白0) $\frac{1}{15} \cdot \frac{6}{15} = \frac{6}{225}$

確率の合計 = $\frac{64+6+6}{225} = \frac{76}{225}$

48 = 7

49 = 6

50 = 2

51 = 2

52 = 5

3. 最終的な答え

(1) $AC$ = 2

(2) $R$ = 1

(3) $S$ = $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

(4) $AE:EC$ = 1: $\sqrt{2}$ 、三角形$ABE$の面積 = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$

(1) 赤球1個, 白球1個である確率は$\frac{8}{15}$

(2) 少なくとも1個が白球である確率は$\frac{3}{5}$

(3) $X=1$となる確率は$\frac{16}{225}$

(4) $X=2$となる確率は$\frac{76}{225}$