四面体OABCにおいて、$OA=OB=BC=\sqrt{3}$, $OC=CA=AB=\sqrt{2}$である。$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$, $\vec{b}=\overrightarrow{OB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{OC}$とおくとき、$|\vec{a}-\vec{b}|^2$, $\vec{a}\cdot\vec{b}$, $\vec{b}\cdot\vec{c}$, $\vec{c}\cdot\vec{a}$を求める問題。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$OA=OB=BC=\sqrt{3}$, $OC=CA=AB=\sqrt{2}$である。$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$, $\vec{b}=\overrightarrow{OB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{OC}$とおくとき、$|\vec{a}-\vec{b}|^2$, $\vec{a}\cdot\vec{b}$, $\vec{b}\cdot\vec{c}$, $\vec{c}\cdot\vec{a}$を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a}-\vec{b}|^2$について:

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$

問題より、$|\vec{a}|^2 = OA^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$, $|\vec{b}|^2 = OB^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$, $AB^2 = |\vec{b}-\vec{a}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

よって、$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 2$.

(2) $\vec{a}\cdot\vec{b}$について:

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$より、

$2 = 3 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 3$

$2\vec{a}\cdot\vec{b} = 3 + 3 - 2 = 4$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{4}{2} = 2$

(3) $\vec{b}\cdot\vec{c}$について:

$BC^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$|\vec{c}-\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{b}|^2$

$3 = OC^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + OB^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + 3$

$2\vec{b}\cdot\vec{c} = 2 + 3 - 3 = 2$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = \frac{2}{2} = 1$

(4) $\vec{c}\cdot\vec{a}$について:

$CA^2 = |\vec{a}-\vec{c}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$|\vec{a}-\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2$

$2 = OA^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + OC^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2$

$2\vec{a}\cdot\vec{c} = 3 + 2 - 2 = 3$

$\vec{c}\cdot\vec{a} = \vec{a}\cdot\vec{c} = \frac{3}{2}$

したがって、$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 2$, $\vec{a}\cdot\vec{b} = 2$, $\vec{b}\cdot\vec{c} = 1$, $\vec{c}\cdot\vec{a} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 2$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 2$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = 1$

$\vec{c}\cdot\vec{a} = \frac{3}{2}$