四角形ABCDが円Oに内接し、AB=5, AD=3である。直線BC, AD, ABはそれぞれ点C, D, Eで円Oに接している。以下の問題を解く。 (1) 辺BCの長さを求めよ。 (2) 辺CDの長さを求めよ。また、線分BDと円Oとの交点のうち、Dでない方の点をFとする。線分BFの長さを求めよ。 (3) 線分AOとBDの交点をGとする。線分DGの長さを求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円Oに内接し、AB=5, AD=3である。直線BC, AD, ABはそれぞれ点C, D, Eで円Oに接している。以下の問題を解く。

(1) 辺BCの長さを求めよ。

(2) 辺CDの長さを求めよ。また、線分BDと円Oとの交点のうち、Dでない方の点をFとする。線分BFの長さを求めよ。

(3) 線分AOとBDの交点をGとする。線分DGの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の接線の性質より、AD=AE=3, AB=5なので、BE=AB-AE=5-3=2。

同様にBC=CE。

したがって、BC=CE=xとおくと、三平方の定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$

また、方べきの定理より、$AE^2 = AD^2 = AB \cdot (AB- BE)$が成り立ち、$CE=x$であるので、$BE = AB - AE = 5-3=2$

三角形ABEで考える。AB=5, AE=3, BE=2。

円の接線の性質から、$AE = AD = 3$, $BE=BC = x$となる。よって、$BC = x$とおく。

ここで、ADとBCの延長線の交点をPとすると、三角形PAB∽三角形PCDとなる。

$PA = PD+3$、$PB=x+5$、$PC=x$

$PA/PC = AB/CD$, $PB/PD = AB/CD$

$PA = PD + AD$

$PB = PC + BC$

$PA = PD + 3$, $PB = x +5$.

$PA * AD = PC * BC$

$3(3+PD) = X^2$

$PD=\frac{X^2 - 9}{3}$

ここで、$AD=3$，$AB=5$より、三平方の定理から、$BD^2=3^2 + 5^2 -2*3*5 *cos A$

$x = \sqrt{AD \cdot AB} = \sqrt{15}$

(2) CDは円の直径なので、CDの長さを2rとする。

$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2}$

方べきの定理より、$BE \cdot BA = BD \cdot BF$

$2 * 5 = BD * BF$

(3) メネラウスの定理より、$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DO}{OA} =1$

$AO/OC=AO/r$.

$CD=2r$なので$\frac{3}{2}\cdot\frac{x}{2r}\cdot DO/AO=1$

$\frac{DG}{GB} = \frac{AD}{BC} = \frac{3}{x}$

$DG = \frac{3}{x+3} DB$

$CD = 2\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $BC = \sqrt{15}$

(2) $CD = 2\sqrt{15}$, $BF = \frac{5}{\sqrt{31}}$

(3) $DG = 25$