## 問題の内容

## 問題の内容

四角形ABCDが円に内接し、AB=1, BC=$\sqrt{3}$, CD=$\sqrt{2}$, DA=$\sqrt{2}$ であるとき、以下の値を求めます。

(1) ACの長さ

(2) 円の半径R

(3) 四角形ABCDの面積S

(4) 対角線AC, BDの交点をEとしたときのAE:ECと、三角形ABEの面積

## 解き方の手順

(1) **ACの長さの計算**

余弦定理を三角形ABCと三角形ADCに適用します。

三角形ABCにおいて、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$ より、

$AC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{B} = 4 - 2\sqrt{3}\cos{B}$

三角形ADCにおいて、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{D}$ より、

$AC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos{D} = 4 - 4\cos{D}$

四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180度です。つまり、D = 180 - B, $\cos{D} = -\cos{B}$ です。

よって、$AC^2 = 4 + 4\cos{B}$

2つの式を連立して解きます。

$4 - 2\sqrt{3}\cos{B} = 4 + 4\cos{B}$

$4\cos{B} + 2\sqrt{3}\cos{B} = 0$

$\cos{B}(4 + 2\sqrt{3}) = 0$

$\cos{B} = 0$

$B = 90^\circ$

よって、$AC^2 = 4 - 2\sqrt{3} \cdot 0 = 4$

$AC = 2$

(2) **円の半径Rの計算**

正弦定理を三角形ABCに適用します。

$\frac{AC}{\sin{B}} = 2R$

$\frac{2}{\sin{90^\circ}} = 2R$

$\frac{2}{1} = 2R$

$R = 1$

(3) **四角形ABCDの面積Sの計算**

四角形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ADCの面積の和です。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B} + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{D}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin{90^\circ} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sin{90^\circ}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

(4) **AE:ECと三角形ABEの面積の計算**

まず、BDの長さを求めます。

三角形ABCにおいて、$AC=2$, $AB=1$, $BC=\sqrt{3}$なので、ピタゴラスの定理より、$\angle ABC = 90^\circ$

同様に、三角形ADCにおいて、$AC=2$, $AD=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{2}$なので、$\angle ADC = 90^\circ$である。

したがって、四角形ABCDは長方形。なので、$\angle BAC = \theta$とすると、

$\tan{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$　より　$\theta=60^\circ$

$\angle DAC = \phi$とすると、

$\tan{\phi} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$　より　$\phi=45^\circ$

したがって、$\angle BAD = \theta + \phi = 60+45 = 105^\circ$

トレミーの定理より、$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$

$1 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot BD$

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 2 \cdot BD$

$BD = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

ここで、方べきの定理より、$AE \cdot EC = BE \cdot ED$.

$AE:EC = AB \cdot AD : BC \cdot CD$ となるから、

$AE:EC = 1 \cdot \sqrt{2} : \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}:\sqrt{6} = 1 : \sqrt{3}$

三角形ABEの面積は、$\frac{1}{2} AB \cdot AE \cdot \sin{\angle BAE}$

ここで、$AE = \frac{1}{1 + \sqrt{3}} AC = \frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{-2} = \sqrt{3} - 1$

$\angle BAE = 60^\circ$

三角形ABEの面積は、$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (\sqrt{3} - 1) \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{4}$

## 最終的な答え

(1) AC = 2

(2) R = 1

(3) S = $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

(4) AE:EC = 1 : $\sqrt{3}$

三角形ABEの面積 = $\frac{3 - \sqrt{3}}{4}$