問題12は、直角三角形ABCの内接円に関する問題です。$AB=3$, $BC=4$, $CA=5$ であり、内接円の中心をI、内接円とABの接点をH、直線AIと内接円との交点をP, Q、辺BCとの交点をDとします。ただし、$AP < AQ$ です。 (1) 線分BHの長さを求めます。 (2) 線分ADの長さを求めます。 (3) 線分APの長さを求めます。

1. 問題の内容

問題12は、直角三角形ABCの内接円に関する問題です。$AB=3$, $BC=4$, $CA=5$ であり、内接円の中心をI、内接円とABの接点をH、直線AIと内接円との交点をP, Q、辺BCとの交点をDとします。ただし、$AP < AQ$ です。

(1) 線分BHの長さを求めます。

(2) 線分ADの長さを求めます。

(3) 線分APの長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 線分BHの長さ

三角形ABCは直角三角形なので、内接円の半径rは、

$r = \frac{AB+BC-CA}{2} = \frac{3+4-5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

内接円とABの接点がHなので、BHの長さは、

$BH = AB - AH$

$AH = AE$

$BH = BD$

$CE = CD$

$AB+BC+CA = AE+EB+BD+DC+CE+EA = 2(AE+BD+CD)$

$3+4+5 = 12 = 2(AE+BD+CD)$

$6=AE+BD+CD$

$AE = x$, $BD = y$, $CD = z$ とすると

$x+y+z=6$

$AB=x+y=3$

$BC=y+z=4$

$AC=x+z=5$

$x=(3+5-4)/2 = 2$

$y=(3+4-5)/2 = 1$

$z=(4+5-3)/2 = 3$

よって、$BH = BD = 1$

(2) 線分ADの長さ

三角形ABIにおいて、BIは角Bの二等分線なので、角の二等分線の定理より、

$AI:DI = AB:BD = 3:1$

$AD = \frac{AC\cdot BD}{AB+BD} = \frac{4 \cdot 3}{3+1} = \frac{12}{4} = 3$

線分ADの長さは、

$AD = \frac{BC \cdot AB}{AB + BH} = \frac{AC\cdot BH}{AH+HC}= \frac{4*3}{3+1}=3$

(3) 線分APの長さ

$AI = \sqrt{AH^2+IH^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$

$AI:PI = AP:r$

$AP+PI = \sqrt{5}$

$AI:PI = \sqrt{5} - AP:r= AP:1$

$AI = AP + PI$

AIは$\angle A$の二等分線なので、

$AI = \sqrt{AB\times AC - BP \times CP}$

内接円の半径をrとすると、AP:r = AI-r:r

内接円の半径は1なので

AP:(sqrt(5)-AP) = AI

AP = $\frac{AI - r}{AI}$

$\angle CAI = \frac{\angle CAB}{2}$

$\sin \angle CAB = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5}$

$\cos \angle CAB = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}$

$\sin \angle CAI = \sqrt{\frac{1-\cos \angle CAB}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

よって、$AI = \frac{r}{\sin \angle CAI} = \sqrt{5}$

$AP = \sqrt{5} - 1$

3. 最終的な答え

(1) BH = 1

(2) AD = 3

(3) AP = $\sqrt{5}-1$