直角三角形の内接円の半径を求める問題です。問題は2つあります。 (1) 直角三角形ABCにおいて、円Oは内接円で、P, Q, Rは接点です。AQ = 10, PC = 7, AR = xのとき、xの値を求めます。 (2) 直角三角形ABCにおいて、円Oは内接円で、P, Q, Rは接点です。AR = 8, BR = 12, 円の半径をxとするとき、xの値を求めます。

1. 問題の内容

直角三角形の内接円の半径を求める問題です。問題は2つあります。

(1) 直角三角形ABCにおいて、円Oは内接円で、P, Q, Rは接点です。AQ = 10, PC = 7, AR = xのとき、xの値を求めます。

(2) 直角三角形ABCにおいて、円Oは内接円で、P, Q, Rは接点です。AR = 8, BR = 12, 円の半径をxとするとき、xの値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

直角三角形ABCにおいて、円Oは内接円なので、接線の長さについて以下の関係が成り立ちます。

AR = AQ, BR = BP, CP = CQ

AR = xなので、AQ = xです。

AQ = 10なので、x = 10。これは矛盾しているので、別の解き方を試します。

AR = x, AQ = 10, PC = 7であることから、

AC = AQ + QC = 10 + 7 = 17

AB = AR + RB = x + RB

BC = BP + PC

ここで、AQ = AR = x

CQ = CP = 7

BR = BP

AB + BC = (AR + RB) + (BP + PC) = (x + RB) + (RB + 7) = x + 2RB + 7

AC = 10 + 7 = 17

直角三角形ABCにおいて、三平方の定理より、

$AB^2 + AC^2 = BC^2$

AB = x + BR

AC = 17

BC = 7 + BR

$(x + BR)^2 + 17^2 = (7 + BR)^2$

$x^2 + 2xBR + BR^2 + 289 = 49 + 14BR + BR^2$

$x^2 + 2xBR + 289 = 49 + 14BR$

$2xBR - 14BR = 49 - 289 - x^2$

$BR(2x - 14) = -240 - x^2$

$BR = \frac{-240 - x^2}{2x - 14}$

ここで、直角三角形ABCの内接円の半径rを考えると、$r = \frac{AB + AC - BC}{2}$と表されます。

内接円の半径は、AQ - 半径、AR - 半径と考えることもできます。

$r = x$

$r = 10$

$r = 7$

となるはずです。

半径r = x、接線の性質よりAR = AQ = x、BR = BP、CP = CQ = 7

AC = 10 + 7 = 17なのでAQ + QC = 17 -> AQ = 10なので、QC = 7

三角形ABCの内接円の半径をrとすると、

AR = x, AQ = 10

直角三角形なので、接点から頂点までの距離を考えると、

AR = x、AQ = 10より、ARとAQが等しくなるはずなので、x = 3です。

内接円の半径r = 3

AR = AB - BR

AQ = AC - CQ

BP = BC - CP

$AB = AR + BR = 3 + BR$

$AC = AQ + QC = 10 + 7 = 17$

$BC = BP + PC = BP + 7$

$x=3$

(2)

AR = 8, BR = 12なので、AB = AR + BR = 8 + 12 = 20

円の半径をxとすると、AR = 8, AQ = 8, BR = BP = 12

AC = 8 + x

BC = 12 + x

三平方の定理より、

$AB^2 + AC^2 = BC^2$

$20^2 + (8 + x)^2 = (12 + x)^2$

$400 + 64 + 16x + x^2 = 144 + 24x + x^2$

$464 + 16x = 144 + 24x$

$8x = 320$

$x = 40$

3. 最終的な答え

(1) x = 3

(2) x = 40