右図のように、四角形ABCDと線分CDを直径とする円Oがある。$AB=5, AD=3$であり、直線BC, AD, ABは点C,D,Eにおいて、それぞれ円Oに接している。 (1) 辺BCの長さを求めよ。 (2) 辺CDの長さを求めよ。また、線分BDと円Oとの交点のうち、Dでない方の点をFとする。線分BFの長さを求めよ。 (3) 線分AOとBDの交点をGとする。線分DGの長さを求めよ。

1. 問題の内容

右図のように、四角形ABCDと線分CDを直径とする円Oがある。$AB=5, AD=3$であり、直線BC, AD, ABは点C,D,Eにおいて、それぞれ円Oに接している。

(1) 辺BCの長さを求めよ。

(2) 辺CDの長さを求めよ。また、線分BDと円Oとの交点のうち、Dでない方の点をFとする。線分BFの長さを求めよ。

(3) 線分AOとBDの交点をGとする。線分DGの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円Oの半径を$r$とする。

方べきの定理より、$AE^2 = AD \cdot (AD + 2r)$が成り立つ。

$AE = AB = 5, AD = 3$なので、$5^2 = 3 \cdot (3 + 2r)$

$25 = 9 + 6r$

$6r = 16$

$r = \frac{8}{3}$

次に、点BからADに下ろした垂線の足をHとする。すると、$BH = CD = 2r = \frac{16}{3}$。

また、$AH = AD = 3$。

$BH = \frac{16}{3}$、三平方の定理より、$AB^2 = BH^2 + AH^2$なので、$AB^2 = AH^2 + BH^2 = AE^2$.

したがって、$\triangle ABH$は直角三角形である。

$\angle ADE = \angle BCE = 90^\circ$。

よって、$BC = \sqrt{AB^2 - (AD - BC)^2}$

$(5 - 3)^2 + (\frac{16}{3})^2 = (5-x)^2 + y^2$

$BC = x$とおくと、$AB^2 - AD^2$ より、三平方の定理より、

$BC^2 = BE^2 - CE^2$。

三平方の定理より、$AB^2 = BC^2 + AC^2$。

$BC = x$とおくと、点Bから直線ADに垂線BHを下ろすと、$BH = CD = \frac{16}{3}$, $AH = 3$となる。よって、$HB^2 = AB^2 - AH^2$.

ゆえに、$BC = 5$.

$\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{(AD+BC)^2}$

(2)

$CD = 2r = \frac{16}{3}$

$\angle BFD = 90^\circ$

$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{16}{3})^2} = \sqrt{25 + \frac{256}{9}} = \sqrt{\frac{225 + 256}{9}} = \sqrt{\frac{481}{9}} = \frac{\sqrt{481}}{3}$

$BF \cdot BD = BC \cdot BA$

$BF = \frac{BC \cdot BA}{BD} = \frac{5 \cdot 5}{\frac{\sqrt{481}}{3}} = \frac{75}{\sqrt{481}} = \frac{75 \sqrt{481}}{481}$

(3)

$\triangle ADG \sim \triangle BCG$

$\frac{AD}{BC} = \frac{DG}{BG} = \frac{3}{5}$

$BD = DG + BG$

$BG = \frac{5}{3} DG$

$BD = DG + \frac{5}{3} DG = \frac{8}{3} DG$

$DG = \frac{3}{8} BD = \frac{3}{8} \cdot \frac{\sqrt{481}}{3} = \frac{\sqrt{481}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $BC = 5$

(2) $CD = \frac{16}{3}$, $BF = \frac{75 \sqrt{481}}{481}$

(3) $DG = \frac{\sqrt{481}}{8}$