(1) $AB = 5$, $AC = 8$ である $\triangle ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD : DC$ を求めよ。 (2) $AB=5$, $BC=6$, $CA=4$ である $\triangle ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD$ を求めよ。 (5) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = 5, PB = 7$ であるとき、$PC \cdot PD$ を求めよ。 (6) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = \sqrt{3}, PC = 3, PD = 5$ であるとき、$PB$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $AB = 5$, $AC = 8$ である $\triangle ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD : DC$ を求めよ。

(2) $AB=5$, $BC=6$, $CA=4$ である $\triangle ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD$ を求めよ。

(5) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = 5, PB = 7$ であるとき、$PC \cdot PD$ を求めよ。

(6) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = \sqrt{3}, PC = 3, PD = 5$ であるとき、$PB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD : DC = AB : AC$ である。

$BD : DC = 5 : 8$

(2) 角の二等分線の性質より、$BD : DC = AB : AC$ である。

$BD : DC = 5 : 4$

$BD + DC = BC = 6$

$BD = \frac{5}{5+4} \times 6 = \frac{5}{9} \times 6 = \frac{10}{3}$

(5) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ である。

$PC \cdot PD = 5 \times 7 = 35$

(6) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ である。

$\sqrt{3} \cdot PB = 3 \cdot 5$

$PB = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $BD : DC = 5 : 8$

(2) $BD = \frac{10}{3}$

(5) $PC \cdot PD = 35$

(6) $PB = 5\sqrt{3}$