直線 $y = 2x + 8$ と $y = -x + 2$ があり、これらの直線と x 軸との交点をそれぞれ A, B とします。また、$y = 2x + 8$ と $y = -x + 2$ の交点を C とします。このとき、原点 O を通り、三角形 ABC の面積を 2 等分する直線 $l$ の式を求めます。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + 8$ と $y = -x + 2$ があり、これらの直線と x 軸との交点をそれぞれ A, B とします。また、$y = 2x + 8$ と $y = -x + 2$ の交点を C とします。このとき、原点 O を通り、三角形 ABC の面積を 2 等分する直線 $l$ の式を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 点 A, B, C の座標を求める。

点 A は $y = 2x + 8$ と x 軸の交点なので、$y = 0$ を代入して、$0 = 2x + 8$ を解くと、$x = -4$。したがって、A の座標は $(-4, 0)$。

点 B は $y = -x + 2$ と x 軸の交点なので、$y = 0$ を代入して、$0 = -x + 2$ を解くと、$x = 2$。したがって、B の座標は $(2, 0)$。

点 C は $y = 2x + 8$ と $y = -x + 2$ の交点なので、$2x + 8 = -x + 2$ を解くと、$3x = -6$ より $x = -2$。これを $y = -x + 2$ に代入すると、$y = -(-2) + 2 = 4$。したがって、C の座標は $(-2, 4)$。

ステップ2: 三角形 ABC の面積を求める。

三角形 ABC の底辺 AB は $2 - (-4) = 6$。高さは点 C の y 座標である 4。

したがって、三角形 ABC の面積は $(1/2) \times 6 \times 4 = 12$。

ステップ3: 三角形 ABC の面積を 2 等分する直線 $l$ を考える。

直線 $l$ は原点 O を通るので、$y = kx$ の形をしている。

この直線が三角形 ABC の面積を 2 等分するので、面積は 6 になる。

直線 $l$ が線分 AC と交わる場合と、線分 BC と交わる場合を考える。

ケース1: 直線 $l$ が線分 AC と交わる場合。

AC の方程式は、傾き $(4-0)/(-2-(-4)) = 4/2 = 2$ で、点 A を通るので、$y = 2(x + 4) = 2x + 8$。

これは与えられた直線と同じなので、直線 $l$ は線分 AC と交わらない。

ケース2: 直線 $l$ が線分 BC と交わる場合。

線分 BC 上の点 P を $(x, kx)$ とおくと、三角形 OBP の面積は 6 になるはずである。

三角形 OBP の底辺 OB は 2。高さは点 P の y 座標である $kx$。

したがって、$(1/2) \times 2 \times |kx| = 6$ より、 $|kx| = 6$。

点 P は線分 BC 上にあるので、P は直線 $y = -x + 2$ 上にある。

したがって、$kx = -x + 2$。よって、$x(k + 1) = 2$ より、$x = \frac{2}{k + 1}$。

これを $|kx| = 6$ に代入すると、 $|k \times \frac{2}{k+1}| = 6$ より、 $\frac{2|k|}{|k+1|} = 6$。

$|k| = 3|k+1|$ より、$k = 3(k+1)$ または $k = -3(k+1)$。

$k = 3k + 3$ より、$-2k = 3$ なので、$k = -\frac{3}{2}$。

$k = -3k - 3$ より、$4k = -3$ なので、$k = -\frac{3}{4}$。

$x = \frac{2}{k + 1}$ が線分 OB 上にあるためには、$0 < x < 2$ でなければならない。

$k = -3/2$ のとき、$x = \frac{2}{-3/2 + 1} = \frac{2}{-1/2} = -4$。これは不適。

$k = -3/4$ のとき、$x = \frac{2}{-3/4 + 1} = \frac{2}{1/4} = 8$。これも不適。

三角形 ABC の面積を二等分する直線は、線分ACの中点を通る。ACの中点をMとすると、$M = (\frac{-4 - 2}{2}, \frac{0 + 4}{2}) = (-3, 2)$.

この中点を通る直線lは、$y = kx$より、$2 = -3k$なので、$k = -2/3$.

3. 最終的な答え

$y = -\frac{2}{3}x$