直線 $y=x+b$ が、2点 $A(2, 1)$ と $B(-1, 4)$ を結んだ線分 $AB$ 上の点を通るとき、定数 $b$ のとる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

直線 $y=x+b$ が、2点 $A(2, 1)$ と $B(-1, 4)$ を結んだ線分 $AB$ 上の点を通るとき、定数 $b$ のとる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

線分 $AB$ 上の点を直線 $y = x + b$ が通る条件を考える。

まず、直線 $y = x + b$ が点 $A(2, 1)$ を通る場合を考える。このとき、

$1 = 2 + b$

$b = -1$

である。

次に、直線 $y = x + b$ が点 $B(-1, 4)$ を通る場合を考える。このとき、

$4 = -1 + b$

$b = 5$

である。

直線 $y = x + b$ が線分 $AB$ 上の点を通るためには、$b$ の値は上記の2つの値の間にある必要がある。したがって、$b$ の範囲は $-1 \le b \le 5$ となる。

3. 最終的な答え

$-1 \le b \le 5$