(1) $\sin{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\theta$ の値を求める。 (2) $2\cos{\theta} + \sqrt{2} = 0$ のとき、$\theta$ の値を求める。 (3) $\tan{\theta} = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。 (4) $\sin{100^\circ}$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す。 (5) $\triangle ABC$ において $a=5, b=7, c=9$ のとき、この三角形の種類を判定する。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\sin{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\theta$ の値を求める。

(2) $2\cos{\theta} + \sqrt{2} = 0$ のとき、$\theta$ の値を求める。

(3) $\tan{\theta} = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。

(4) $\sin{100^\circ}$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す。

(5) $\triangle ABC$ において $a=5, b=7, c=9$ のとき、この三角形の種類を判定する。

2. 解き方の手順

(1) $\sin{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ の値を $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で求める。$\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$\sin{\theta} = \sin{(180^\circ - \theta)}$ であるから、$\theta = 45^\circ$ または $\theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$。

(2) $2\cos{\theta} + \sqrt{2} = 0$ を解く。$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ の値を $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で求める。$\cos{135^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、$\theta = 135^\circ$。

(3) $\tan{\theta} = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。

まず、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ である。$\tan^2{\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ であるから、

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{\tan^2{\theta} + 1} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$。

$\cos{\theta} = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\tan{\theta} = -\frac{1}{2} < 0$ であるから、$\theta$ は鈍角である。よって、$\cos{\theta} < 0$ であり、$\cos{\theta} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

$\sin{\theta} = \tan{\theta} \cos{\theta} = -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{2\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$。

(4) $\sin{100^\circ}$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す。$\sin{(90^\circ + \alpha)} = \cos{\alpha}$ であり、$\sin{(180^\circ - \alpha)} = \sin{\alpha}$ であるから、

$\sin{100^\circ} = \sin{(90^\circ + 10^\circ)} = \cos{10^\circ}$。

(5) $\triangle ABC$ において $a=5, b=7, c=9$ のとき、この三角形の種類を判定する。

$a^2 + b^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$。

$c^2 = 9^2 = 81$。

$a^2 + b^2 < c^2$ であるから、$\triangle ABC$ は鈍角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 45^\circ, 135^\circ$

(2) $\theta = 135^\circ$

(3) $\sin{\theta} = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos{\theta} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(4) $\cos{10^\circ}$

(5) 鈍角三角形