(1) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。 (2) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$2\cos \theta + \sqrt{2} = 0$ を満たす $\theta$ を求める。 (3) $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。 (4) $\sin 100^\circ$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す。 (5) $\triangle ABC$ において、$a=5, b=7, c=9$ のとき、この三角形の種類を判定する。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。

(2) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$2\cos \theta + \sqrt{2} = 0$ を満たす $\theta$ を求める。

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

(4) $\sin 100^\circ$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す。

(5) $\triangle ABC$ において、$a=5, b=7, c=9$ のとき、この三角形の種類を判定する。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = 45^\circ$ または $\theta = 135^\circ$ である。

(2) $2\cos \theta + \sqrt{2} = 0$ より、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。これを満たす $\theta$ は、$\theta = 135^\circ$ である。

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ より、$\theta$ は第2象限の角である。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$。

$\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$ より、$\cos \theta = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$。

$\theta$ は第2象限の角なので、$\cos \theta = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$。

$\theta$ は第2象限の角なので、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。

したがって、$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$ と $\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

(4) $\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ = \sin (90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$。

(5) 余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7^2 + 9^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 25}{126} = \frac{105}{126} = \frac{5}{6} > 0$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{25 + 81 - 49}{90} = \frac{57}{90} = \frac{19}{30} > 0$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -\frac{1}{10} < 0$

したがって、$C$ は鈍角であるので、$\triangle ABC$ は鈍角三角形である。

3. 最終的な答え

(1): 8

(2): 5

(3): 3: $\sqrt{5}$, 4: $5$, 5: $-2$, 6: $\sqrt{5}$, 7: $5$, 8: $5$

(4): 3, 10: 10, 11: 度

(5): 鈍角