三角関数の問題です。 (1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\theta$の値を求めます。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$とします。 (2) $2\sin \theta - 1 = 0$ のとき、$\theta$の値を求めます。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$とします。 (3) $\tan \theta = -3$ のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めます。 (4) $\cos 125^\circ$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表します。 (5) $\triangle ABC$ において、$a=2, b=4, c=5$のとき、この三角形がどのような三角形であるかを答えます。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

三角関数の問題です。

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\theta$の値を求めます。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$とします。

(2) $2\sin \theta - 1 = 0$ のとき、$\theta$の値を求めます。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$とします。

(3) $\tan \theta = -3$ のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めます。

(4) $\cos 125^\circ$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表します。

(5) $\triangle ABC$ において、$a=2, b=4, c=5$のとき、この三角形がどのような三角形であるかを答えます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の値を求めます。$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲では、$\theta = 30^\circ$ が解です。

(2) $2\sin \theta - 1 = 0$ より、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となります。$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲では、$\theta = 30^\circ$ または $\theta = 150^\circ$ が解です。

(3) $\tan \theta = -3$ のとき、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、

$1 + (-3)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$10 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan \theta = -3$ より、$\theta$は第2象限または第4象限の角です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$なので、$\theta$は第2象限の角です。したがって、$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$ です。

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = (-3)\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ です。

(4) $\cos 125^\circ = \cos (180^\circ - 55^\circ) = -\cos 55^\circ = -\cos (90^\circ - 35^\circ) = -\sin 35^\circ$ です。

(5) 余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$2^2 = 4^2 + 5^2 - 2(4)(5) \cos A$

$4 = 16 + 25 - 40 \cos A$

$4 = 41 - 40 \cos A$

$40 \cos A = 37$

$\cos A = \frac{37}{40} > 0$ なので、$\angle A$ は鋭角です。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$4^2 = 2^2 + 5^2 - 2(2)(5) \cos B$

$16 = 4 + 25 - 20 \cos B$

$16 = 29 - 20 \cos B$

$20 \cos B = 13$

$\cos B = \frac{13}{20} > 0$ なので、$\angle B$ は鋭角です。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$5^2 = 2^2 + 4^2 - 2(2)(4) \cos C$

$25 = 4 + 16 - 16 \cos C$

$25 = 20 - 16 \cos C$

$16 \cos C = -5$

$\cos C = -\frac{5}{16} < 0$ なので、$\angle C$ は鈍角です。

したがって、$\triangle ABC$ は鈍角三角形です。

3. 最終的な答え

(1) 30° (①)

(2) 30°, 150° (⑦)

(3) $\sin \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$ なので、

$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{10}}$

(4) -sin 35° (②)

(5) 鈍角三角形