(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$のとき、$\theta$を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。 (2) $2\cos \theta + \sqrt{2} = 0$のとき、$\theta$を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。 (3) $\tan \theta = -\frac{1}{2}$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求める。 (4) $\sin 100^\circ$を45°より小さい角の三角比で表す。 (5) $\triangle ABC$において、$a=5, b=7, c=9$のとき、この三角形の種類を判定する。

1. 問題の内容

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$のとき、$\theta$を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

(2) $2\cos \theta + \sqrt{2} = 0$のとき、$\theta$を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{2}$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求める。

(4) $\sin 100^\circ$を45°より小さい角の三角比で表す。

(5) $\triangle ABC$において、$a=5, b=7, c=9$のとき、この三角形の種類を判定する。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$を満たす$\theta$を、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で探す。

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$であり、$\sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$である。

したがって、$\theta = 45^\circ, 135^\circ$である。

(2) $2\cos \theta + \sqrt{2} = 0$より、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる。

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$である。

したがって、$\theta = 135^\circ$である。

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{2}$より、$\theta$は鈍角である。$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$および$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$を使う。

$\cos \theta = \frac{\sin \theta}{\tan \theta} = -2 \sin \theta$であるから、

$\sin^2 \theta + (-2\sin \theta)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + 4\sin^2 \theta = 1$

$5\sin^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\theta$は鈍角より、$\sin \theta > 0$なので、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = -2 \sin \theta = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(4) $\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 100^\circ) = \sin 80^\circ = \sin (90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$

(5) $a=5, b=7, c=9$について、余弦定理を用いる。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7^2 + 9^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 25}{126} = \frac{105}{126} = \frac{5}{6} > 0$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{25 + 81 - 49}{90} = \frac{57}{90} = \frac{19}{30} > 0$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -\frac{1}{10} < 0$

AとBは鋭角、Cは鈍角なので、鈍角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 5

(3) $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3, 5, 5, 2, 5, 5

(4) 3, 1, 0

(5) 3