$PA = 2$, $PB = \sqrt{2}$, $PC = \sqrt{2}$, $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^\circ$ である三角錐 $PABC$ において、点 $P$ から $\triangle ABC$ を含む平面に垂線 $PH$ を下ろす。 (1) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。 (2) 三角錐 $PABC$ の体積 $V$ を求めよ。 (3) $PH$ の長さ $h$ を求めよ。

1. 問題の内容

$PA = 2$, $PB = \sqrt{2}$, $PC = \sqrt{2}$, $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^\circ$ である三角錐 $PABC$ において、点 $P$ から $\triangle ABC$ を含む平面に垂線 $PH$ を下ろす。

(1) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

(2) 三角錐 $PABC$ の体積 $V$ を求めよ。

(3) $PH$ の長さ $h$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積を求める。

まず、$\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCA$ はそれぞれ直角三角形なので、$AB$, $BC$, $CA$ の長さを計算する。

$AB = \sqrt{PA^2 + PB^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$

$BC = \sqrt{PB^2 + PC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$

$CA = \sqrt{PC^2 + PA^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}$

よって、$\triangle ABC$ は $AB = CA = \sqrt{6}$, $BC = 2$ の二等辺三角形である。

ヘロンの公式を用いると、$s = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{6} + 2}{2} = \sqrt{6} + 1$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}+1-\sqrt{6})(\sqrt{6}+1-\sqrt{6})(\sqrt{6}+1-2)} = \sqrt{(\sqrt{6}+1)(1)(1)(\sqrt{6}-1)} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \sqrt{6 - 1} = \sqrt{5}$

(2) 三角錐 $PABC$ の体積 $V$ を求める。

$V = \frac{1}{6} PA \cdot PB \cdot PC = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

(3) $PH$ の長さ $h$ を求める。

三角錐の体積 $V$ は、底面を $\triangle ABC$ としたとき $V = \frac{1}{3} S h$ とも表せる。

$\frac{2}{3} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{5} \cdot h$

$2 = \sqrt{5} h$

$h = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \sqrt{5}$

(2) $V = \frac{2}{3}$

(3) $h = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$