3点 $A(-1, -1, -1)$, $B(1, 2, 3)$, $C(x, y, 1)$ が一直線上にあるとき、$x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $A(-1, -1, -1)$, $B(1, 2, 3)$, $C(x, y, 1)$ が一直線上にあるとき、$x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるとき、ベクトル$\overrightarrow{AC}$ とベクトル$\overrightarrow{AB}$ は平行である。つまり、ある実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ と表せる。

まず、ベクトル$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AB}$を求める。

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x - (-1) \\ y - (-1) \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+1 \\ y+1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 2 - (-1) \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ より、

$\begin{pmatrix} x+1 \\ y+1 \\ 2 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x+1 \\ y+1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \\ 3k \\ 4k \end{pmatrix}$

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$x + 1 = 2k$

$y + 1 = 3k$

$2 = 4k$

3番目の式より、$k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

これを1番目と2番目の式に代入する。

$x + 1 = 2(\frac{1}{2}) = 1$

$y + 1 = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

よって、$x = 1 - 1 = 0$, $y = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 0$, $y = \frac{1}{2}$