一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OA, OB, OCの中点をそれぞれP, Q, Rとする。△PQRの重心をGとするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$を用いて、$\overrightarrow{OG}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表し、$\overrightarrow{OG}$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OA, OB, OCの中点をそれぞれP, Q, Rとする。△PQRの重心をGとするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$を用いて、$\overrightarrow{OG}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表し、$\overrightarrow{OG}$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OQ}$, $\overrightarrow{OR}$をそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。

$P$は$OA$の中点なので、$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\vec{a}$

$Q$は$OB$の中点なので、$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2}\vec{b}$

$R$は$OC$を2:3に内分するので、$\overrightarrow{OR} = \frac{2}{5}\vec{c}$

(2) $\overrightarrow{OG}$を$\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OQ}$, $\overrightarrow{OR}$を用いて表す。

$G$は$\triangle PQR$の重心なので、

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR}}{3}$

$=\frac{\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}}{3}$

$=\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{2}{15}\vec{c}$

(3) $|\overrightarrow{OG}|$を求める。

$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1$, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$|\overrightarrow{OG}|^2 = (\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{2}{15}\vec{c})^2$

$= (\frac{1}{6})^2|\vec{a}|^2 + (\frac{1}{6})^2|\vec{b}|^2 + (\frac{2}{15})^2|\vec{c}|^2 + 2(\frac{1}{6})(\frac{1}{6})\vec{a}\cdot\vec{b} + 2(\frac{1}{6})(\frac{2}{15})\vec{a}\cdot\vec{c} + 2(\frac{1}{6})(\frac{2}{15})\vec{b}\cdot\vec{c}$

$= \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{225} + 2(\frac{1}{36})(\frac{1}{2}) + 2(\frac{2}{90})(\frac{1}{2}) + 2(\frac{2}{90})(\frac{1}{2})$

$= \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{225} + \frac{1}{36} + \frac{2}{90} + \frac{2}{90}$

$= \frac{3}{36} + \frac{4}{225} + \frac{4}{90}$

$= \frac{1}{12} + \frac{4}{225} + \frac{2}{45}$

$= \frac{1}{12} + \frac{4}{225} + \frac{10}{225}$

$= \frac{1}{12} + \frac{14}{225}$

$= \frac{75}{900} + \frac{56}{900} = \frac{131}{900}$

$|\overrightarrow{OG}| = \sqrt{\frac{131}{900}} = \frac{\sqrt{131}}{30}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{2}{15}\vec{c}$

(2) $|\overrightarrow{OG}| = \frac{\sqrt{131}}{30}$