(1) 次の2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の内積とそのなす角 $\theta$ をそれぞれ求めよ。 (ア) $\vec{a}=(-2, 1, 2), \vec{b}=(-1, 1, 0)$ (イ) $\vec{a}=(1, -1, 1), \vec{b}=(1, \sqrt{6}, -1)$ (2) 3点A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 2) で定まる $\triangle ABC$ の面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 次の2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の内積とそのなす角 $\theta$ をそれぞれ求めよ。

(ア) $\vec{a}=(-2, 1, 2), \vec{b}=(-1, 1, 0)$

(イ) $\vec{a}=(1, -1, 1), \vec{b}=(1, \sqrt{6}, -1)$

(2) 3点A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 2) で定まる $\triangle ABC$ の面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) (ア)

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(-1) + (1)(1) + (2)(0) = 2 + 1 + 0 = 3$

$\vec{a}$ の大きさ $|\vec{a}|$ は、

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$\vec{b}$ の大きさ $|\vec{b}|$ は、

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{4}$

(イ)

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(\sqrt{6}) + (1)(-1) = 1 - \sqrt{6} - 1 = -\sqrt{6}$

$\vec{a}$ の大きさ $|\vec{a}|$ は、

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

$\vec{b}$ の大きさ $|\vec{b}|$ は、

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{6})^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 6 + 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = -\frac{1}{2}$

よって、$\theta = \frac{2\pi}{3}$

(2)

$\vec{AB} = (0-1, 3-0, 0-0) = (-1, 3, 0)$

$\vec{AC} = (0-1, 0-0, 2-0) = (-1, 0, 2)$

$\triangle ABC$ の面積Sは、

$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = (3(2)-0(0), 0(-1)-(-1)(2), (-1)(0)-3(-1)) = (6, 2, 3)$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$

$S = \frac{1}{2} \times 7 = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) (ア) 内積: 3, なす角: $\frac{\pi}{4}$

(イ) 内積: $-\sqrt{6}$, なす角: $\frac{2\pi}{3}$

(2) $\triangle ABC$ の面積: $\frac{7}{2}$