直角三角形ABCにおいて、以下の問題に答えなさい。 (1) $\tan A = \frac{1}{3}$, $BC = 3\text{ cm}$のとき、$\tan B$の値を求めなさい。 (2) $\cos A = \frac{2}{3}$, $AB = 6\text{ cm}$のとき、$BC$の長さを求めなさい。 (3) $\sin A = \frac{1}{3}$, $AC = 6\text{ cm}$のとき、三角形ABCの面積を求めなさい。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、以下の問題に答えなさい。

(1) $\tan A = \frac{1}{3}$, $BC = 3\text{ cm}$のとき、$\tan B$の値を求めなさい。

(2) $\cos A = \frac{2}{3}$, $AB = 6\text{ cm}$のとき、$BC$の長さを求めなさい。

(3) $\sin A = \frac{1}{3}$, $AC = 6\text{ cm}$のとき、三角形ABCの面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

$\tan A = \frac{BC}{AC}$より、$\frac{1}{3} = \frac{3}{AC}$なので、$AC = 9\text{ cm}$。

$\tan B = \frac{AC}{BC}$より、$\tan B = \frac{9}{3} = 3$。

(2)

$\cos A = \frac{AC}{AB}$より、$\frac{2}{3} = \frac{AC}{6}$なので、$AC = 4\text{ cm}$。

三平方の定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2$なので、$6^2 = 4^2 + BC^2$。

$36 = 16 + BC^2$より、$BC^2 = 20$。

$BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ cm}$。

(3)

$\sin A = \frac{BC}{AB}$より、$\frac{1}{3} = \frac{BC}{AB}$なので、$AB = 3BC$。

三平方の定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2$なので、$(3BC)^2 = 6^2 + BC^2$。

$9BC^2 = 36 + BC^2$より、$8BC^2 = 36$。

$BC^2 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$より、$BC = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{18\sqrt{2}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{2}\text{ cm}^2$。

3. 最終的な答え

(1) $\tan B = 3$

(2) $BC = 2\sqrt{5}\text{ cm}$

(3) $\text{三角形ABCの面積} = \frac{9\sqrt{2}}{2}\text{ cm}^2$