4点A(4, 1, 3), B(3, 0, 2), C(-3, 0, 14), D(7, -5, -6) が与えられている。ベクトル $\overrightarrow{AB}$ とベクトル $\overrightarrow{CD}$ のいずれにも垂直で、大きさが $\sqrt{6}$ のベクトルを求める。

1. 問題の内容

4点A(4, 1, 3), B(3, 0, 2), C(-3, 0, 14), D(7, -5, -6) が与えられている。ベクトル $\overrightarrow{AB}$ とベクトル $\overrightarrow{CD}$ のいずれにも垂直で、大きさが $\sqrt{6}$ のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ とベクトル $\overrightarrow{CD}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} = (3-4, 0-1, 2-3) = (-1, -1, -1)$

$\overrightarrow{CD} = (7-(-3), -5-0, -6-14) = (10, -5, -20)$

次に、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ の両方に垂直なベクトルを求める。それを $\overrightarrow{v} = (x, y, z)$ とすると、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ かつ $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ が成り立つ。

$-x - y - z = 0$

$10x - 5y - 20z = 0$

1つ目の式から $x = -y - z$ となる。これを2つ目の式に代入する。

$10(-y - z) - 5y - 20z = 0$

$-10y - 10z - 5y - 20z = 0$

$-15y - 30z = 0$

$-15y = 30z$

$y = -2z$

$x = -(-2z) - z = 2z - z = z$

よって、$\overrightarrow{v} = (z, -2z, z) = z(1, -2, 1)$ と表せる。

次に、$\overrightarrow{v}$ の大きさが $\sqrt{6}$ であることから $z$ の値を求める。

$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{z^2 + (-2z)^2 + z^2} = \sqrt{z^2 + 4z^2 + z^2} = \sqrt{6z^2} = |z|\sqrt{6}$

$|z|\sqrt{6} = \sqrt{6}$

$|z| = 1$

よって、$z = 1$ または $z = -1$。

$z = 1$ のとき、$\overrightarrow{v} = (1, -2, 1)$

$z = -1$ のとき、$\overrightarrow{v} = (-1, 2, -1)$

3. 最終的な答え

求めるベクトルは $(1, -2, 1)$ または $(-1, 2, -1)$ である。