直角三角形ABCにおいて、$∠C = 90°$、$AB = 10a$、$BC = 6a$とする。辺BCのCの側への延長上に、$CA = CD$となる点Dをとる。辺ABの中点をEとし、点Bから直線ADに下ろした垂線をBFとする。 (1) C, FはABを直径とする円周上にあることを示し、さらにEF=ECであることを示せ。 (2) $∠ABC = θ$とおいて、$∠CEF = 90°$であることを示せ。 (3) $△CEF$の面積をaで表せ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$∠C = 90°$、$AB = 10a$、$BC = 6a$とする。辺BCのCの側への延長上に、$CA = CD$となる点Dをとる。辺ABの中点をEとし、点Bから直線ADに下ろした垂線をBFとする。

(1) C, FはABを直径とする円周上にあることを示し、さらにEF=ECであることを示せ。

(2) $∠ABC = θ$とおいて、$∠CEF = 90°$であることを示せ。

(3) $△CEF$の面積をaで表せ。

2. 解き方の手順

(1) C, FがABを直径とする円周上にあることの証明

EはABの中点なので、EA = EB = ECとなる（直角三角形ABCの外接円の中心）。よって、CはABを直径とする円周上にある。

$∠BFA = 90°$なので、FもABを直径とする円周上にある。

次に、EF = ECを示す。

$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(10a)^2 - (6a)^2} = \sqrt{100a^2 - 36a^2} = \sqrt{64a^2} = 8a$

$CA = CD$なので、$CD = 8a$

$BD = BC + CD = 6a + 8a = 14a$

△ABFと△DBFにおいて、$∠AFB = ∠BFD = 90°$, BFは共通。

$∠BAD = α$とすると、$∠CAD = α$となる。

$∠ADB = ∠CAD = α$（二等辺三角形ACD）

$∠ABD = 180° - ∠BAD - ∠ADB = 180° - 2α$

ここで、$∠ABF = 90° - ∠BAD = 90° - α$

$∠DBF = ∠ABD - ∠ABF = (180° - 2α) - (90° - α) = 90° - α$

よって、∠ABF = ∠DBFなので、BFは∠ABDの二等分線である。

△ABDにおいて、BFは∠ABDの二等分線であるから、AF : FD = AB : BD = 10a : 14a = 5 : 7

AF : AD = 5 : 12

AD = AC + CD = 8a + 8a = 16a

$AF = \frac{5}{12}AD = \frac{5}{12} \times 16a = \frac{20}{3}a$

$EF = AE - AF = 5a - \frac{20}{3}a = \frac{15a - 20a}{3} = -\frac{5}{3}a$ となるはずだが、おかしい。

別の方法で考える。$∠BAC = α$とすると、$∠ABC = 90° - α$となる。

$AE = BE$より$∠EAB = ∠EBA = α$となる。

ここで、$∠CAD = θ$とおくと、$∠ADC = θ$となるので、$∠ACD = 180° - 2θ$

よって、$∠ACB + ∠ACD = 90° + 180° - 2θ = 270° - 2θ = 180°$より、$2θ = 90°$, $θ = 45°$となる。

$∠BAD = 45°$

△ABFにおいて、$∠ABF = 90° - 45° = 45°$

∠BAF = 45° なので△ABFは直角二等辺三角形になる。

$AF = BF$

$BE = AE = EC = 5a$なので、∠EBC = ∠ECB。

∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = ∠ABC - ∠BAC

∠ABC = θなので、$AC = ABcosθ$, $BC = ABsinθ$より$cosθ = \frac{8}{10}=\frac{4}{5}$, $sinθ = \frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

$∠ECB = θ-α$

$EA = EC$より$∠EAC = ∠ECA = α$

$∠ECA = α = \frac{π}{4}$

EはABの中点なので、中点連結定理より、EC = AE = BE = 5a

なので、$EC = 5a$

$sin∠ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{8a}{10a}=\frac{4}{5}$

$cos∠ABC = \frac{BC}{AB} = \frac{6a}{10a}=\frac{3}{5}$

$BC = 6a$なので$∠BAC = A$とおくとtanA = 6/8 = 3/4

AF= 1/2 * ADcosα = 1/2 *16acosα

1/2AB = 5a

$∠BAF = α$

$∠BFA=90°$だからFは直径ABの円周上。$∠BCA=90°$だからCは直径ABの円周上。

また,AE=BEなので、$∠BAE = ∠ABE = \frac{π}{2} - ∠BAC$

△BFAは直角三角形なので$∠BAF = \frac{π}{2} - ∠ABF$

∠EAF = ∠BAE - ∠BAF = 0, よって点FはAB上に存在する。

CはABを直径とする円周上にあるので、AC垂直BC

∠ABC=θ

EC=EBなので∠EBC=∠ECB=θ。よって∠ECA= 90°-θ

2. ∠CEF=90°であることの証明

3. △CEFの面積をaで表せ

3. 最終的な答え