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四面体 $ABCD$ に関して、次の等式を満たす点 $P$ がどのような位置にあるかを求める問題です。 $\overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{BP} - 7\overrightarrow{CP} - 3\overrightarrow{DP} = \vec{0}$

幾何学ベクトル四面体内分点
2025/8/9

1. 問題の内容

四面体 ABCDABCD に関して、次の等式を満たす点 PP がどのような位置にあるかを求める問題です。
AP→+2BP→−7CP→−3DP→=0⃗\overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{BP} - 7\overrightarrow{CP} - 3\overrightarrow{DP} = \vec{0}

2. 解き方の手順

まず、AP→\overrightarrow{AP} を基準に他のベクトルを書き換えます。
BP→=AP→−AB→\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}
CP→=AP→−AC→\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}
DP→=AP→−AD→\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD}
これらを元の式に代入します。
AP→+2(AP→−AB→)−7(AP→−AC→)−3(AP→−AD→)=0⃗\overrightarrow{AP} + 2(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) - 7(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) - 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD}) = \vec{0}
AP→+2AP→−2AB→−7AP→+7AC→−3AP→+3AD→=0⃗\overrightarrow{AP} + 2\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{AB} - 7\overrightarrow{AP} + 7\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AD} = \vec{0}
(1+2−7−3)AP→−2AB→+7AC→+3AD→=0⃗(1 + 2 - 7 - 3)\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{AB} + 7\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD} = \vec{0}
−7AP→=2AB→−7AC→−3AD→-7\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} - 7\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AD}
AP→=−27AB→+AC→+37AD→\overrightarrow{AP} = -\frac{2}{7}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AD}
AP→=−2AB→+7AC→+3AD→7\overrightarrow{AP} = \frac{-2\overrightarrow{AB} + 7\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}}{7}
次に、AQ→=−2AB→+7AC→+3AD→\overrightarrow{AQ} = -2\overrightarrow{AB} + 7\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD} となる点QQを考えます。
AQ→=7(AC→+37AD→)−2AB→\overrightarrow{AQ} = 7(\overrightarrow{AC} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AD}) - 2\overrightarrow{AB}
AE→=AC→+37AD→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AD}となる点EEを考えます。点EEは線分CDCDを3:43:4に内分する点です。
AE→=7AC→+3AD→10×107\overrightarrow{AE} = \frac{7\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}}{10} \times \frac{10}{7}
AE→=107AF→\overrightarrow{AE} = \frac{10}{7}\overrightarrow{AF}とすると、AF→=7AC→+3AD→10\overrightarrow{AF} = \frac{7\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}}{10}
点FFは線分CDCDを3:73:7に内分する点です。
AP→=−27AB→+107AF→\overrightarrow{AP} = -\frac{2}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{10}{7} \overrightarrow{AF}
ここで、AP→=−2AB→+10AF→7\overrightarrow{AP} = \frac{-2\overrightarrow{AB} + 10\overrightarrow{AF}}{7} を変形します。
7AP→=−2AB→+10AF→7\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB} + 10\overrightarrow{AF}
7(OP→−OA→)=−2(OB→−OA→)+10(OF→−OA→)7(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) = -2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + 10(\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA})
7OP→−7OA→=−2OB→+2OA→+10OF→−10OA→7\overrightarrow{OP} - 7\overrightarrow{OA} = -2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OA} + 10\overrightarrow{OF} - 10\overrightarrow{OA}
7OP→=−2OB→+10OF→−OA→7\overrightarrow{OP} = -2\overrightarrow{OB} + 10\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA}
OP→=−OA→−2OB→+10OF→7\overrightarrow{OP} = \frac{-\overrightarrow{OA} -2\overrightarrow{OB} + 10\overrightarrow{OF}}{7}
AP→=−27AB→+AC→+37AD→\overrightarrow{AP} = \frac{-2}{7}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AD}
7AP→=−2AB→+7AC→+3AD→7\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB} + 7\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}
7AP→=−2(OB→−OA→)+7(OC→−OA→)+3(OD→−OA→)7\overrightarrow{AP} = -2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}) + 7(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}) + 3(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})
7AP→=−2OB→+2OA→+7OC→−7OA→+3OD→−3OA→7\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OA} + 7\overrightarrow{OC} - 7\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OD} - 3\overrightarrow{OA}
7OP→−7OA→=−2OB→+7OC→+3OD→−8OA→7\overrightarrow{OP} - 7\overrightarrow{OA} = -2\overrightarrow{OB} + 7\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OD} - 8\overrightarrow{OA}
7OP→=−2OB→+7OC→+3OD→−OA→7\overrightarrow{OP} = -2\overrightarrow{OB} + 7\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}
OP→=−OA→−2OB→+7OC→+3OD→7\overrightarrow{OP} = \frac{-\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OB} + 7\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OD}}{7}
この式をみると、点PPは四面体ABCDABCDの内部にあるわけではないことが分かります。
AP→=−2AB→+7AC→+3AD→7\overrightarrow{AP} = \frac{-2\overrightarrow{AB} + 7\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}}{7}
点EEを、−2AB→+7AC→=AE→-2\overrightarrow{AB} + 7\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE}となるようにとると、
AP→=AE→+3AD→7\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AE} + 3\overrightarrow{AD}}{7}

3. 最終的な答え

点PPは、AP→=−2AB→+7AC→+3AD→7\overrightarrow{AP} = \frac{-2\overrightarrow{AB} + 7\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}}{7} を満たす点である。ここで点EEを、線分CDCDを3:73:7に内分する点FFを用いて、−2AB→+1010AF→-2\overrightarrow{AB} + \frac{10}{10} \overrightarrow{AF}と表すことができる。
点 PP は平面 ABCABC,ACDACD,ABDABD のいずれにも含まれない。
点 PP は AP→=−27AB→+AC→+37AD→\overrightarrow{AP} = -\frac{2}{7}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AD} を満たす。
OP→=−OA→−2OB→+7OC→+3OD→7\overrightarrow{OP} = \frac{-\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OB} + 7\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OD}}{7}

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