与えられた3つの不等式の表す領域を図示する問題です。 (1) $(y-x)(x+y-2) > 0$ (2) $(y-x^2)(x-y+2) \geq 0$ (3) $(x+2y-4)(x^2+y^2-2x-8) < 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの不等式の表す領域を図示する問題です。

(1) $(y-x)(x+y-2) > 0$

(2) $(y-x^2)(x-y+2) \geq 0$

(3) $(x+2y-4)(x^2+y^2-2x-8) < 0$

2. 解き方の手順

それぞれの不等式について、領域を決定し、図示します。

(1) $(y-x)(x+y-2) > 0$

これは、

(i) $y-x > 0$ かつ $x+y-2 > 0$

または

(ii) $y-x < 0$ かつ $x+y-2 < 0$

のいずれかを満たす領域を示します。

(i) $y > x$ かつ $y > -x+2$

(ii) $y < x$ かつ $y < -x+2$

境界線は $y = x$ と $y = -x+2$ です。これらの直線を描き、それぞれの条件を満たす領域を決定します。境界線は含みません。

(2) $(y-x^2)(x-y+2) \geq 0$

これは、

(i) $y-x^2 \geq 0$ かつ $x-y+2 \geq 0$

または

(ii) $y-x^2 \leq 0$ かつ $x-y+2 \leq 0$

のいずれかを満たす領域を示します。

(i) $y \geq x^2$ かつ $y \leq x+2$

(ii) $y \leq x^2$ かつ $y \geq x+2$

境界線は $y = x^2$ と $y = x+2$ です。これらの曲線を描き、それぞれの条件を満たす領域を決定します。境界線を含みます。

(3) $(x+2y-4)(x^2+y^2-2x-8) < 0$

これは、

(i) $x+2y-4 > 0$ かつ $x^2+y^2-2x-8 < 0$

または

(ii) $x+2y-4 < 0$ かつ $x^2+y^2-2x-8 > 0$

のいずれかを満たす領域を示します。

(i) $y > -\frac{1}{2}x+2$ かつ $(x-1)^2 + y^2 < 9$

(ii) $y < -\frac{1}{2}x+2$ かつ $(x-1)^2 + y^2 > 9$

境界線は $y = -\frac{1}{2}x+2$ と $(x-1)^2 + y^2 = 9$ です。これは直線と中心が$(1, 0)$で半径が3の円です。それぞれの条件を満たす領域を決定します。境界線は含みません。

3. 最終的な答え

領域を図示する必要があるため、具体的な図を示すことはできません。それぞれの問題について、境界となる曲線や直線を描き、不等式を満たす領域を決定し、斜線などで示すことで領域を図示することができます。

(1) 境界線: $y = x$, $y = -x+2$

(2) 境界線: $y = x^2$, $y = x+2$

(3) 境界線: $y = -\frac{1}{2}x+2$, $(x-1)^2 + y^2 = 9$

それぞれの境界線を参考に、不等式が示す領域を図示してください。