円Oに内接する三角形ABCにおいて、AB=1, BC=3, ∠ABC=60°である。点Dは円Oの点Bを含まない弧AC上にある。 (1) 線分ACの長さを求める。 (2) AD:CD=1:2のとき、線分ADの長さと四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

円Oに内接する三角形ABCにおいて、AB=1, BC=3, ∠ABC=60°である。点Dは円Oの点Bを含まない弧AC上にある。

(1) 線分ACの長さを求める。

(2) AD:CD=1:2のとき、線分ADの長さと四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて線分ACの長さを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 1^2 + 3^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot \cos{60^\circ}$

$AC^2 = 1 + 9 - 6 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 10 - 3 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

(2) 円に内接する四角形の性質より、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

AD:CD=1:2より、AD=x, CD=2xとおく。

余弦定理を用いてACの長さを求める。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$(\sqrt{7})^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2x \cdot \cos{120^\circ}$

$7 = x^2 + 4x^2 - 4x^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$7 = 5x^2 + 2x^2$

$7 = 7x^2$

$x^2 = 1$

$x = 1$ (x>0より)

したがって、AD=1である。

四角形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ADCの面積の和である。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \sin{60^\circ} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

三角形ADCの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{\angle ADC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積は、$\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7}$

(2) ADの長さは1であり、四角形ABCDの面積は $\frac{5\sqrt{3}}{4}$ である。

回答：

(1) 7

(2) 1, 5, 3