問題は、与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。 (1) 中心が$(2, -1)$、半径が$\sqrt{3}$の円の方程式を求めます。 (2) 2点$(-2, 1)$、$(4, 1)$を直径の両端とする円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。

(1) 中心が$(2, -1)$、半径が$\sqrt{3}$の円の方程式を求めます。

(2) 2点$(-2, 1)$、$(4, 1)$を直径の両端とする円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式の一般形は、中心$(a, b)$、半径$r$とすると、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

与えられた中心$(2, -1)$、半径$\sqrt{3}$を代入します。

(2) 2点$(-2, 1)$、$(4, 1)$を直径の両端とする円の中心は、この2点の中点です。

中点の座標は、$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$で求められます。

したがって、中心の座標は$\left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = (1, 1)$です。

次に、半径を求めます。半径は、中心$(1, 1)$と点$(4, 1)$との距離です。

2点間の距離は$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$で求められます。

したがって、半径は$\sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$です。

中心$(1, 1)$、半径$3$を円の方程式の一般形に代入します。

3. 最終的な答え

(1)

$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{3})^2$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 3$

(2)

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 9$