直線①の式が $y = \frac{1}{2}x + 2$、直線②の式が $y = -3x + 9$ であるとき、以下の問題を解く。 (1) 点Bの座標を求める。 (2) 点Pの座標を求める。 (3) 点Pを通り、三角形PABの面積を2等分する直線の式を求める。

1. 問題の内容

直線①の式が $y = \frac{1}{2}x + 2$、直線②の式が $y = -3x + 9$ であるとき、以下の問題を解く。

(1) 点Bの座標を求める。

(2) 点Pの座標を求める。

(3) 点Pを通り、三角形PABの面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Bは直線①とy軸の交点なので、$x=0$ を直線①の式に代入すると、$y = \frac{1}{2}(0) + 2 = 2$。よって、点Bの座標は $(0, 2)$。

(2) 点Pは直線①と直線②の交点なので、2つの式を連立して解く。

$\frac{1}{2}x + 2 = -3x + 9$

両辺に2をかける。

$x + 4 = -6x + 18$

$7x = 14$

$x = 2$

$x = 2$ を $y = \frac{1}{2}x + 2$ に代入すると、$y = \frac{1}{2}(2) + 2 = 1 + 2 = 3$。

よって、点Pの座標は $(2, 3)$。

(3) 三角形PABの面積を2等分する直線は、辺ABの中点を通る。

点Aは直線②とy軸の交点なので、$x=0$ を直線②の式に代入すると、$y = -3(0) + 9 = 9$。よって、点Aの座標は $(0, 9)$。

辺ABの中点をMとすると、Mの座標は $\left(\frac{0+0}{2}, \frac{9+2}{2}\right) = \left(0, \frac{11}{2}\right)$。

求める直線は、点P $(2, 3)$ と点M $\left(0, \frac{11}{2}\right)$ を通る直線である。

直線の式を $y = ax + b$ とすると、

$3 = 2a + b$

$\frac{11}{2} = b$

$3 = 2a + \frac{11}{2}$

$6 = 4a + 11$

$4a = -5$

$a = -\frac{5}{4}$

よって、求める直線の式は $y = -\frac{5}{4}x + \frac{11}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標：(0, 2)

(2) 点Pの座標：(2, 3)

(3) 求める直線の式：$y = -\frac{5}{4}x + \frac{11}{2}$