半径が2の半円において、Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射し、AB上の点Qに到達する状況を考える。 (1) $\theta = \angle PAB$ とするとき、OQの長さを$\theta$で表す。 (2) PがBに限りなく近づくとき、Qがどの点に近づくかを求める。

1. 問題の内容

半径が2の半円において、Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射し、AB上の点Qに到達する状況を考える。

(1) $\theta = \angle PAB$ とするとき、OQの長さを$\theta$で表す。

(2) PがBに限りなく近づくとき、Qがどの点に近づくかを求める。

2. 解き方の手順

(1) OQの長さを$\theta$で表す。

まず、$\angle PAB = \theta$であるから、$\angle APB = 90^\circ$ (直径に対する円周角) より、$\angle ABP = 90^\circ - \theta$となる。

反射の法則により、入射角と反射角は等しいので、$\angle APQ = \angle MPB$である。また、$\angle MPB = 90^\circ - \angle AMP/2$となる。

$\angle MPA + \angle APB + \angle BPM = 180^\circ$であり、$OA=OB=OM=2$（半径）だから、$\triangle OAM$は二等辺三角形。

$\angle AOM = 2\angle ABM = 2\angle APM = 2(90^{\circ} - \theta)$

四角形APBMにおいて$\angle PAM + \angle PBM + \angle AMB + \angle APB = 360^{\circ}$より、$\angle ABM = \angle AMP$となるため$\angle AMP = \angle ABM$が成り立つ。

弧MBの中点なので, $\angle MAB = \angle MBA = 45^\circ$ より $\angle AOB=90^{\circ}$となり、$\angle AOP= 45^{\circ}-\theta$

$\angle POA = \angle AOP$となるので$\angle AOP = 90^\circ - 2\theta$

$\triangle OAP$において、$OA=2$、$\angle OAP = \theta$、$\angle AOP = 90^\circ - 2\theta$なので、$\angle APO = 180^\circ - (\theta + 90^\circ - 2\theta) = 90^\circ + \theta$となる。

また$\angle PQA = \angle PAB + \angle APQ = \theta + (90^\circ - \theta)$

$OQ = OA \cdot \frac{\sin \angle OAP}{\sin \angle APQ} = OA \cdot \frac{\sin (\angle POA + \angle OPA}{\sin (\angle OPA} = 4 cos2\theta$

$\angle PAB = \theta, \angle QPA = \frac{\pi}{2} - 2\theta$

$OQ = 4 \cos^2 \theta= OA - QA =2 cos2\theta$

ゆえに、$OQ=2cos(2\theta)$

(2) PがBに限りなく近づくとき。

PがBに限りなく近づくとき、$\theta$は$\pi/4$に近づく。したがって、$OQ$は、$2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$に近づく。

したがって、QはOに近づく。

3. 最終的な答え

(1) $OQ = 2\cos 2\theta$

(2) QはOに近づく。