空間内の4点O(0,0,0), A(1,1,0), B(1,0,1), C(1,1,1)を頂点とする四面体OABCの体積をVとする。辺BCの中点をM, 辺ABを$t:(1-t)$に内分する点をP, 辺ACを$u:(1-u)$に内分する点をQ, 四面体OMPQの体積をV'とする。$\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}, \vec{c} = \overrightarrow{OC}$とする。以下の問に答える。 (1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{c} \cdot \vec{a}$を求めよ。 (2) $\triangle APQ, \triangle BPM, \triangle CQM$の面積を, それぞれ$t, u$を用いて表せ。 (3) $\frac{V'}{V}$を$t, u$を用いて表せ。 (4) $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OM}$であるとき, $t$を$u$を用いて表せ。 (5) $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OM}$であるように点P, Qがそれぞれ辺AB, AC上を動くとき, $\frac{V'}{V}$の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

空間内の4点O(0,0,0), A(1,1,0), B(1,0,1), C(1,1,1)を頂点とする四面体OABCの体積をVとする。辺BCの中点をM, 辺ABを$t:(1-t)$に内分する点をP, 辺ACを$u:(1-u)$に内分する点をQ, 四面体OMPQの体積をV'とする。$\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}, \vec{c} = \overrightarrow{OC}$とする。以下の問に答える。

(1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{c} \cdot \vec{a}$を求めよ。

(2) $\triangle APQ, \triangle BPM, \triangle CQM$の面積を, それぞれ$t, u$を用いて表せ。

(3) $\frac{V'}{V}$を$t, u$を用いて表せ。

(4) $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OM}$であるとき, $t$を$u$を用いて表せ。

(5) $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OM}$であるように点P, Qがそれぞれ辺AB, AC上を動くとき, $\frac{V'}{V}$の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内積を求める。

$\vec{a} = (1,1,0), \vec{b} = (1,0,1), \vec{c} = (1,1,1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$

$\vec{c} \cdot \vec{a} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2$

(2) 面積を求める。

$\overrightarrow{AP} = t(\vec{b} - \vec{a}) = t(0, -1, 1)$

$\overrightarrow{AQ} = u(\vec{c} - \vec{a}) = u(0, 0, 1)$

$\triangle APQ = \frac{1}{2} | t(\vec{b}-\vec{a}) \times u(\vec{c}-\vec{a}) | = \frac{1}{2} | (0, 0, -tu) | = \frac{1}{2}tu$

$\overrightarrow{BP} = (1-t)(\vec{a} - \vec{b}) = (1-t)(0, 1, -1)$

$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) - (1, 0, 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

$\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{BP} - \overrightarrow{BM} = (1-t)(\vec{a} - \vec{b}) - (\frac{\vec{c}}{2} - \vec{b})$

$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} (\vec{c} - 2\vec{b}) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

$\triangle BPM = \frac{1}{2} |\overrightarrow{BP} \times \overrightarrow{BM}| = \frac{1}{2} |(1-t)(\vec{a} - \vec{b}) \times \frac{1}{2} (\vec{c} - 2\vec{b})| = \frac{1}{4} | (1-t)(0,1,-1) \times ( -1, 0, -1) | = \frac{1}{4}|(-1+t, -1+t, 1-t)| = \frac{\sqrt{3}}{4}(1-t)$

$\overrightarrow{CQ} = (1-u)(\vec{a} - \vec{c}) = (1-u)(0,0,-1)$

$\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c} = (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}) - (1, 1, 1) = (-\frac{1}{2}, -1, -\frac{1}{2})$

$\triangle CQM = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CQ} \times \overrightarrow{CM}| = \frac{1}{2} | (1-u)(0,0,-1) \times (-\frac{1}{2}, -1, -\frac{1}{2})| = \frac{1}{2} | (-1+u, \frac{1}{2} - \frac{u}{2}, 0)| = \frac{\sqrt{5}}{4} (1-u)$

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = (1, \frac{1}{2}, 1)$

$V = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{6} | (1,1,0) \cdot (-1, 0, 1)| = \frac{1}{6}|-1| = \frac{1}{6}$

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

$\overrightarrow{OQ} = (1-u)\vec{a} + u\vec{c}$

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c})$

(3)

$V' = \frac{1}{6} | \overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} \times \overrightarrow{OM}) |$

$\frac{V'}{V} = 6 V' = | \overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} \times \overrightarrow{OM}) |$

$\frac{V'}{V} = | ((1-t)\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (((1-u)\vec{a} + u\vec{c}) \times \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})) |$

(4) $\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{OM}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (1-u)\vec{a} + u\vec{c} - ((1-t)\vec{a} + t\vec{b}) = (t-u)\vec{a} - t\vec{b} + u\vec{c}$

$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OM} = 0$

$((t-u)\vec{a} - t\vec{b} + u\vec{c}) \cdot \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) = 0$

$(t-u)(\vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{a}\cdot \vec{c}) - t(\vec{b}\cdot \vec{b} + \vec{b}\cdot \vec{c}) + u(\vec{c}\cdot \vec{b} + \vec{c}\cdot \vec{c}) = 0$

$(t-u)(1+2) - t(2+2) + u(2+3) = 0$

$3t-3u - 4t + 5u = 0$

$-t+2u = 0$

$t = 2u$

(5) $t=2u$を代入

$\overrightarrow{OP} = (1-2u)\vec{a} + 2u\vec{b}, \overrightarrow{OQ} = (1-u)\vec{a} + u\vec{c}, \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

$\frac{V'}{V}$を最大化する。

ただし、0 < t < 1, 0 < u < 1より, 0 < 2u < 1, 0 < u <

1. したがって0 < u < 1/2

$\frac{V'}{V} = |\frac{1}{6} ((1-2u)\vec{a} + 2u\vec{b}) \cdot (((1-u)\vec{a} + u\vec{c}) \times (\vec{b} + \vec{c}))|$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1, \vec{b} \cdot \vec{c} = 2, \vec{c} \cdot \vec{a} = 2$

(2) $\triangle APQ = \frac{1}{2}tu$

(3) 未完成

(4) $t = 2u$

(5) 未完成