中心がO、直径ABが4の半円の弧の中点をMとする。点Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射し、AB上の点Qにくるとする。 (1) $\theta = \angle PAB$とするとき、OQの長さを$\theta$で表す。 (2) PがBに限りなく近づくとき、Qはどんな点に近づいていくか。

1. 問題の内容

中心がO、直径ABが4の半円の弧の中点をMとする。点Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射し、AB上の点Qにくるとする。

(1) $\theta = \angle PAB$とするとき、OQの長さを$\theta$で表す。

(2) PがBに限りなく近づくとき、Qはどんな点に近づいていくか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、円周角の定理より、$\angle AMB=90^\circ$となる。

点Mは半円の中心なので、$AM=MB$となる。

三角形AMBは直角二等辺三角形になるので、$\angle MAB = \angle MBA = 45^\circ$。

入射角と反射角は等しいので、$\angle APQ = \angle MPB$。

$\angle APB = 90^\circ$ なので、$\angle APM + \angle MPB = 90^\circ$。

$\angle APM + \angle APQ = 90^\circ$なので、$\angle MPQ$の二等分線がPBとなる。

$O$は$AB$の中点なので、$OA = OB = 2$。

$\angle PAB = \theta$とおくと、$\angle APB=90^\circ$より、$\angle ABP = 90^\circ - \theta$。

$\angle MPA = \angle APB - \angle MPB = 90^\circ - \angle APQ$

$\angle APQ = \angle MPB$より、$2 \angle APQ + \angle APM = 90^\circ$

$\angle APQ = \angle OPQ = \angle MPB = \frac{1}{2}(90^\circ - \angle APM) = \frac{1}{2}(90^\circ - \theta)$

$\triangle APQ$ において $\angle PAQ = \theta$、$\angle APQ = 45^\circ$。

$\angle AQP = 180^\circ - (45^\circ + \theta) = 135^\circ - \theta$。

$\angle PQA = 180^\circ - (\theta + 45^\circ )= 135^\circ - \theta$

$\triangle APQ$について正弦定理を用いると、

$\frac{AQ}{\sin(\angle APQ)} = \frac{AP}{\sin(\angle AQP)} = \frac{PQ}{\sin(\angle PAQ)}$

$\frac{AQ}{\sin 45^\circ} = \frac{AP}{\sin (135^\circ - \theta)}$

$\triangle ABP$について考えると

$\frac{AP}{\sin \angle ABP} = \frac{BP}{\sin \angle PAB} = \frac{AB}{\sin \angle APB}$

$\frac{AP}{\sin (90^\circ - \theta)} = \frac{BP}{\sin \theta} = \frac{4}{\sin 90^\circ} = 4$

$AP = 4 \cos \theta$

$BP = 4 \sin \theta$

$\frac{AQ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cos \theta}{\sin (135^\circ - \theta)}$

$AQ = \frac{4 \cos \theta \sin 45^\circ}{\sin (135^\circ - \theta)} = \frac{4 \cos \theta (\frac{1}{\sqrt{2}})}{\sin 135^\circ \cos \theta - \cos 135^\circ \sin \theta} = \frac{4 \cos \theta (\frac{1}{\sqrt{2}})}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta} = \frac{4 \cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$

$OQ = AQ - AO = AQ - 2 = \frac{4 \cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta} - 2 = \frac{4 \cos \theta - 2 (\cos \theta + \sin \theta)}{\cos \theta + \sin \theta} = \frac{2 \cos \theta - 2 \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} = 2 \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$

$OQ = 2 \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta} = 2 \tan (\frac{\pi}{4} - \theta)$

(2)

PがBに限りなく近づくとき、$\theta \to \frac{\pi}{2}$

$OQ = 2 \tan (\frac{\pi}{4} - \theta) \to 2 \tan (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}) = 2 \tan (-\frac{\pi}{4}) = -2$

QはOから左に2だけ離れた点に近づく。すなわち、点Aに限りなく近づく。

3. 最終的な答え

(1) $OQ = 2 \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$

(2) 点A