直方体ABCDEFGHにおいて、AD = 4, AB = 6, AE = 3である。平面BDEで切断された三角錐ABDEについて、以下の値を求める。 (1) BD, DE, BEの長さを求める。 (2) 三角錐ABDEの外接球の半径Rを求める。

1. 問題の内容

直方体ABCDEFGHにおいて、AD = 4, AB = 6, AE = 3である。平面BDEで切断された三角錐ABDEについて、以下の値を求める。

(1) BD, DE, BEの長さを求める。

(2) 三角錐ABDEの外接球の半径Rを求める。

2. 解き方の手順

(1)

・BDの長さ：

直角三角形ABDにおいて、三平方の定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$BD^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$

$BD = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$

・DEの長さ：

直角三角形ADEにおいて、三平方の定理より、

$DE^2 = AD^2 + AE^2$

$DE^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$DE = \sqrt{25} = 5$

・BEの長さ：

直角三角形ABEにおいて、三平方の定理より、

$BE^2 = AB^2 + AE^2$

$BE^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$

$BE = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

(2)

三角錐ABDEの外接球は、直方体ABCDEFGHの外接球と同じである。直方体の対角線が外接球の直径となる。

直方体の対角線の長さは、

$\sqrt{AD^2 + AB^2 + AE^2} = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61}$

したがって、外接球の直径は$\sqrt{61}$なので、半径Rは、

$R = \frac{\sqrt{61}}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

BD = $2\sqrt{13}$ （選択肢 5）

DE = 5 （選択肢 4）

BE = $3\sqrt{5}$ （選択肢 3）

(2)

R = $\frac{\sqrt{61}}{2}$ （選択肢 4）