三角形ABCにおいて、$a=4, b=3, c=2$ のとき、$\cos A$、$\sin A$、および三角形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4, b=3, c=2$ のとき、$\cos A$、$\sin A$、および三角形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$ を求める。余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$4^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos A$

$16 = 9 + 4 - 12 \cos A$

$12 \cos A = -3$

$\cos A = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$

(2) $\sin A$ を求める。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

($\sin A > 0$ なので正の平方根をとる)

(3) 三角形の面積を求める。

$S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{6\sqrt{15}}{8} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{1}{4}$

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$

面積は $\frac{3\sqrt{15}}{4}$