$x$軸上の点$(5, 0)$を通り、平行四辺形OABCの面積を2等分する直線$l$の式を求める。ただし、平行四辺形の頂点の座標はO$(0,0)$、A$(-4,-2)$、B$(-2,6)$である。

1. 問題の内容

$x$軸上の点$(5, 0)$を通り、平行四辺形OABCの面積を2等分する直線$l$の式を求める。ただし、平行四辺形の頂点の座標はO$(0,0)$、A$(-4,-2)$、B$(-2,6)$である。

2. 解き方の手順

平行四辺形の面積を二等分する直線は、平行四辺形の対角線の交点を通る。

まず、点Cの座標を求める。平行四辺形の性質から、$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$である。

$\vec{OA} = (-4, -2)$、$\vec{OB} = (-2, 6)$なので、$\vec{OC} = (-4-2, -2+6) = (-6, 4)$。

よって、点Cの座標は$(-6, 4)$である。

次に、平行四辺形の対角線OCの中点Mの座標を求める。

点Mの座標は$(\frac{0 + (-6)}{2}, \frac{0+4}{2}) = (-3, 2)$である。

直線$l$は点$(5,0)$と点M$(-3, 2)$を通るので、この2点を通る直線の式を求める。

直線の傾き$a$は、

$a = \frac{2-0}{-3-5} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$

よって、直線の式は$y = -\frac{1}{4}x + b$と表せる。

この直線が点$(5, 0)$を通るので、

$0 = -\frac{1}{4}(5) + b$

$b = \frac{5}{4}$

したがって、直線$l$の式は$y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$である。

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$