直線 $y = x + 3$, $y = -x + 9$ と $x$軸との交点をそれぞれ $A$, $B$ とし、直線 $y = x + 3$ と $y = -x + 9$ の交点を $C$ とする。原点 $O$ を通り、三角形 $ABC$ の面積を2等分する直線 $l$ の式を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = x + 3$, $y = -x + 9$ と $x$軸との交点をそれぞれ $A$, $B$ とし、直線 $y = x + 3$ と $y = -x + 9$ の交点を $C$ とする。原点 $O$ を通り、三角形 $ABC$ の面積を2等分する直線 $l$ の式を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 $A$, $B$, $C$ の座標を求める。

点 $A$ は直線 $y = x + 3$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入して、$0 = x + 3$ より $x = -3$。よって、$A(-3, 0)$。

点 $B$ は直線 $y = -x + 9$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入して、$0 = -x + 9$ より $x = 9$。よって、$B(9, 0)$。

点 $C$ は直線 $y = x + 3$ と $y = -x + 9$ の交点なので、連立方程式を解く。

$x + 3 = -x + 9$ より $2x = 6$ なので $x = 3$。$y = x + 3$ に代入して $y = 3 + 3 = 6$。よって、$C(3, 6)$。

次に、三角形 $ABC$ の面積を求める。

$AB$ を底辺とすると、底辺の長さは $9 - (-3) = 12$。高さは点 $C$ の $y$ 座標なので $6$。

よって、三角形 $ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$。

直線 $l$ は原点 $O$ を通り、三角形 $ABC$ の面積を2等分するので、直線 $l$ と線分 $BC$ の交点を $M$ とすると、三角形 $OBM$ の面積は $\frac{1}{2} \times 36 = 18$ となる。

点 $M$ の座標を $(x_M, y_M)$ とすると、三角形 $OBM$ の面積は $\frac{1}{2} \times OB \times y_M = \frac{1}{2} \times 9 \times y_M$ なので、

$\frac{1}{2} \times 9 \times y_M = 18$。

$y_M = \frac{18 \times 2}{9} = 4$。

点 $M$ は直線 $y = -x + 9$ 上にあるので、$4 = -x_M + 9$ より $x_M = 5$。

よって、$M(5, 4)$。

直線 $l$ は原点 $O(0, 0)$ と点 $M(5, 4)$ を通るので、傾きは $\frac{4 - 0}{5 - 0} = \frac{4}{5}$。

よって、直線 $l$ の式は $y = \frac{4}{5} x$。

3. 最終的な答え

$y = \frac{4}{5} x$