$\theta$が鋭角で、$tan \theta = \sqrt{2}$のとき、$sin \theta$と$cos \theta$の値を求めよ。$sin \theta = \frac{オ}{カ}$、 $cos \theta = \frac{キ}{\sqrt{ク}}$という形式で答える。

1. 問題の内容

$\theta$が鋭角で、$tan \theta = \sqrt{2}$のとき、$sin \theta$と$cos \theta$の値を求めよ。$sin \theta = \frac{オ}{カ}$、 $cos \theta = \frac{キ}{\sqrt{ク}}$という形式で答える。

2. 解き方の手順

$tan \theta = \frac{sin \theta}{cos \theta} = \sqrt{2}$である。

また、$sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$という関係式がある。

$sin \theta = \sqrt{2} cos \theta$を$sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$に代入すると、

$(\sqrt{2} cos \theta)^2 + cos^2 \theta = 1$

$2 cos^2 \theta + cos^2 \theta = 1$

$3 cos^2 \theta = 1$

$cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\theta$は鋭角なので、$cos \theta > 0$。よって、$cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

次に、$sin \theta$を求める。

$sin \theta = \sqrt{2} cos \theta = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$, $cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

したがって、オは$\sqrt{2}$、カは$\sqrt{3}$、キは1、クは3となる。

3. 最終的な答え

オ：$\sqrt{2}$

カ：$\sqrt{3}$

キ：1

ク：3