$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$, $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\sin{\alpha} = \cos{2\beta}$ を満たす$\beta$を$\alpha$で表す。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$, $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\sin{\alpha} = \cos{2\beta}$ を満たす$\beta$を$\alpha$で表す。

2. 解き方の手順

$\sin{\alpha} = \cos{2\beta}$より、$\cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \cos{2\beta}$となる。

よって、$2\beta = \pm (\frac{\pi}{2} - \alpha) + 2n\pi$ （$n$は整数）と表せる。

$\beta = \pm (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) + n\pi$

$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} + n\pi$ または $\beta = -\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi$

$0 \le \beta \le \pi$の範囲で$\beta$を決定する。

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$より、$\frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$

$0 \le \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$

したがって、$n = 0$のとき、$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$は$0 \le \beta \le \pi$を満たす。

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$より、$-\frac{\pi}{2} \ge -\frac{\alpha}{2} \ge -\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \ge \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \ge \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \ge \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \ge 0$

$0 \le \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{4}$より、$n=1$のとき、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} + \pi = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$より、$\frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\alpha}{2} \le -\frac{\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \le \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \le \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$

$\frac{3\pi}{4} \le \beta \le \pi$

したがって、$\beta = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$は$0 \le \beta \le \pi$を満たす。

まとめると、$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$または$\beta = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$となる。

3. 最終的な答え

$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$