(1) 楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。 (2) 曲線 $C: \begin{cases} x = 3\cos t \\ y = 2\sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

(2) 曲線 $C: \begin{cases} x = 3\cos t \\ y = 2\sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の面積は $\pi a b$ で与えられる。

この問題の場合、$a = 3$ 、$b = 2$ であるから、面積は

$S = \pi \times 3 \times 2 = 6\pi$

(2) 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は、積分を用いて求めることができる。

$x = 3 \cos t$ より $dx = -3\sin t dt$。

$t$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$x$ は $3$ から $-3$ まで変化する。

したがって、面積は

$S = \int_{3}^{-3} y dx = \int_{0}^{\pi} (2\sin t)(-3\sin t) dt = \int_{0}^{\pi} -6\sin^2 t dt = -6 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2t)}{2} dt = -3 \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2t)) dt = -3 [t - \frac{1}{2}\sin(2t)]_{0}^{\pi} = -3(\pi - 0) = -3\pi$

面積は正である必要があるため、$S = |-3\pi| = 3\pi$

3. 最終的な答え

(1) $S = 6\pi$

(2) $S = 3\pi$