$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$, $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\sin \alpha = \cos 2\beta$ を満たす $\beta$ を $\alpha$ で表す問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$, $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\sin \alpha = \cos 2\beta$ を満たす $\beta$ を $\alpha$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\beta$ を $\sin$ で表します。$\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ の関係を使うと、

$\cos 2\beta = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\beta)$

したがって、$\sin \alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\beta)$ が成り立ちます。

次に、$\sin x = \sin y$ を満たす $x$ と $y$ の関係を考えます。

$\sin x = \sin y$ となるのは、$x = y + 2n\pi$ または $x = \pi - y + 2n\pi$ ( $n$ は整数) の場合です。

したがって、

$\alpha = \frac{\pi}{2} - 2\beta + 2n\pi$

または

$\alpha = \pi - (\frac{\pi}{2} - 2\beta) + 2n\pi$

となります。

これらの式を $\beta$ について解きます。

1つ目の式から、

$2\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi$

$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} + n\pi$

2つ目の式から、

$\alpha = \pi - \frac{\pi}{2} + 2\beta + 2n\pi$

$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\beta + 2n\pi$

$2\beta = \alpha - \frac{\pi}{2} - 2n\pi$

$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} - n\pi$

ここで、$0 \le \beta \le \pi$ と $\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$ の範囲を考慮します。

$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} + n\pi$ について：

$n = 0$ のとき、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \ge -\frac{\alpha}{2} \ge -\frac{\pi}{2}$ なので、$0 \le \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{4}$ となり、$0 \le \beta \le \pi$ を満たします。

$n = 1$ のとき、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} + \pi = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \ge -\frac{\alpha}{2} \ge -\frac{\pi}{2}$ なので、$\pi \le \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \le \frac{9\pi}{4}$ となり、$\pi \le \beta$　を満たすが、$\beta \le \pi$　を満たさない可能性がある。

$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} - n\pi$ について：

$n = 0$ のとき、$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}$ なので、$0 \le \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$ となり、$0 \le \beta \le \pi$ を満たします。

$n = -1$ のとき、$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\alpha}{2} + \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}$ なので、$\pi \le \beta \le \frac{5\pi}{4}$ となり、$\beta \le \pi$ を満たさない。

したがって、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$ と $\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$ が解の候補です。

しかし、$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$ の範囲では、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \le 0$ となる場合があるので不適。$\alpha = \frac{\pi}{2}$のとき、$\beta = 0$となるので、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$も解の候補です。

$\beta = |\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}|$が解になります。

しかし、$\sin \alpha = \cos 2\beta = \cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$ なので、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$も解になります。

$\sin \alpha = \cos(2(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$

3. 最終的な答え

$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$, $\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

または

$\beta = |\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}|$

$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$

$\beta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

となります。

0≦β≦πより$\beta=\frac{3π}{4}-\frac{α}{2}$

$\beta=|\frac{π}{4} - \frac{α}{2}|$

$\beta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

$\beta=\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}$