三角形ABCにおいて、$AB = 1$, $AC = 5$, $BC = 2\sqrt{5}$のとき、内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 1$, $AC = 5$, $BC = 2\sqrt{5}$のとき、内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して、$\angle BAC$の余弦を求めます。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

が成り立ちます。与えられた値を代入すると、

$(2\sqrt{5})^2 = 1^2 + 5^2 - 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot \cos{\angle BAC}$

$20 = 1 + 25 - 10\cos{\angle BAC}$

$10\cos{\angle BAC} = 6$

$\cos{\angle BAC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

内積の定義より、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| |AC| \cos{\angle BAC}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 3$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3$