直線 $l: y = -x + 6$ と直線 $m: y = 3x + 2$ がある。点Aは直線$l$とx軸の交点、点Bは直線$m$とy軸の交点、点Cは直線$l$と$m$の交点である。 (1) 点Aの座標を求める。 (2) 点Cの座標を求める。 (3) $\triangle ABC$の面積を求める。 (4) 点Cを通り、$\triangle ABC$の面積を2等分する直線の式を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -x + 6$ と直線 $m: y = 3x + 2$ がある。点Aは直線$l$とx軸の交点、点Bは直線$m$とy軸の交点、点Cは直線$l$と$m$の交点である。

(1) 点Aの座標を求める。

(2) 点Cの座標を求める。

(3) $\triangle ABC$の面積を求める。

(4) 点Cを通り、$\triangle ABC$の面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは直線 $l: y = -x + 6$ とx軸（$y=0$）の交点なので、$y = 0$ を代入して、

$0 = -x + 6$

$x = 6$

よって、点Aの座標は$(6, 0)$。

(2) 点Cは直線 $l: y = -x + 6$ と直線 $m: y = 3x + 2$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = -x + 6$

$y = 3x + 2$

これらを連立して解くと

$-x + 6 = 3x + 2$

$4x = 4$

$x = 1$

$y = -1 + 6 = 5$

よって、点Cの座標は$(1, 5)$。

(3) 点Bは直線 $m: y = 3x + 2$ とy軸（$x=0$）の交点なので、$x = 0$ を代入して、

$y = 3(0) + 2 = 2$

よって、点Bの座標は$(0, 2)$。

$\triangle ABC$の面積を求める。点A(6,0), B(0,2), C(1,5)

$\triangle ABC$の面積は、台形から2つの三角形を引くことで求める。

台形の面積：$\frac{1}{2}(6+1)(5-0) = \frac{35}{2}$

左側の三角形の面積：$\frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$

右側の三角形の面積：$\frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15$

$\triangle ABC = \frac{35}{2} - 1 - 15 = \frac{35 - 2 - 30}{2} = \frac{3}{2}$

もしくは、$\triangle ABC$の面積を、点Bを原点に平行移動して計算する。

A'=(6, -2), C'=(1, 3), B'=(0, 0)

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |6 \times 3 - (-2) \times 1| = \frac{1}{2} |18+2| = \frac{1}{2} \times 20 = 10$.

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times |6(2 - 5) + 0(5 - 0) + 1(0 - 2)| = \frac{1}{2} \times |-18 + 0 - 2| = \frac{1}{2} \times |-20| = 10$.

(4) 点Cを通り、$\triangle ABC$の面積を2等分する直線は、線分ABの中点を通る。

ABの中点をMとすると、

$M = (\frac{6+0}{2}, \frac{0+2}{2}) = (3, 1)$

点C(1, 5)と点M(3, 1)を通る直線の式を求める。

傾き：$\frac{1-5}{3-1} = \frac{-4}{2} = -2$

$y = -2x + b$

点C(1, 5)を通るので、$5 = -2(1) + b$

$b = 7$

よって、直線は$y = -2x + 7$

3. 最終的な答え

(1) A(6, 0)

(2) C(1, 5)

(3) 10 $cm^2$

(4) $y = -2x + 7$