問題は2つの部分から構成されています。 (1) ベクトル $\vec{a} = (1, 3)$, $\vec{b} = (2, -1)$, $\vec{c} = (2, -2)$ が与えられたとき、$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が垂直になる $t$ の値と、平行になる $t$ の値を求める問題です。 (2) 平行四辺形OABCにおいて、辺AB上に点DをAD:DB=2:1となるようにとり、BCの中点をEとします。直線ODと直線AEの交点をFとするとき、$OF/OD$ および $AF/AE$ の値を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) ベクトル $\vec{a} = (1, 3)$, $\vec{b} = (2, -1)$, $\vec{c} = (2, -2)$ が与えられたとき、$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が垂直になる $t$ の値と、平行になる $t$ の値を求める問題です。

(2) 平行四辺形OABCにおいて、辺AB上に点DをAD:DB=2:1となるようにとり、BCの中点をEとします。直線ODと直線AEの交点をFとするとき、$OF/OD$ および $AF/AE$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} + t\vec{b} = (1 + 2t, 3 - t)$

$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が垂直のとき、内積は0になるので、

$(1 + 2t) \cdot 2 + (3 - t) \cdot (-2) = 0$

$2 + 4t - 6 + 2t = 0$

$6t = 4$

$t = \frac{2}{3}$

$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が平行のとき、ある実数 $k$ を用いて、$\vec{a} + t\vec{b} = k\vec{c}$ と表せるので、

$(1 + 2t, 3 - t) = (2k, -2k)$

$1 + 2t = 2k$

$3 - t = -2k$

2つの式を足すと

$4 + t = 0$

$t = -4$

(2)

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とすると、$\vec{OB} = \vec{a} + \vec{c}$ となります。

点DはABを2:1に内分するので、

$\vec{OD} = \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{AB} = \vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$

点EはBCの中点なので、

$\vec{OE} = \vec{OB} + \frac{1}{2} \vec{BC} = \vec{a} + \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{a} = \frac{3}{2} \vec{a} + \vec{c}$

点Fは直線OD上にあるので、$s$ を実数として、

$\vec{OF} = s\vec{OD} = s(\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}) = s\vec{a} + \frac{2}{3}s\vec{c}$

点Fは直線AE上にあるので、$u$ を実数として、

$\vec{OF} = (1-u)\vec{OA} + u\vec{OE} = (1-u)\vec{a} + u(\frac{3}{2}\vec{a} + \vec{c}) = (1-u + \frac{3}{2}u)\vec{a} + u\vec{c} = (1 + \frac{1}{2}u)\vec{a} + u\vec{c}$

$\vec{a}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較して

$s = 1 + \frac{1}{2}u$

$\frac{2}{3}s = u$

$s = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}s$

$s = 1 + \frac{1}{3}s$

$\frac{2}{3}s = 1$

$s = \frac{3}{2}$

$u = \frac{2}{3}s = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$

したがって、

$\vec{OF} = \frac{3}{2}\vec{OD}$

$OF/OD = 3/2$

$\vec{OF} = (1 + \frac{1}{2}u)\vec{a} + u\vec{c}$より、$u = \frac{2}{3}s = 1$

$\vec{AF} = \vec{OF} - \vec{OA} = u\vec{OE} - u\vec{OA} = 1\vec{OE} - 1\vec{OA}$

$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA}$

よって、$AF/AE = 1$

3. 最終的な答え

$t = \frac{2}{3}$ (垂直のとき)

$t = -4$ (平行のとき)

$OF/OD = 3/2$

$AF/AE = 1$